CENTRO DE MASSA INTEGRAL - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Centro de massa integral - exercícios resolvidos!

O centro de massa é um conceito muito importante dentro da mecânica e das engenharias. O centro de massa pode ser calculado usando uma integral dupla, tripla ou até mesmo uma integral simples em alguns casos, nesse post vamos ver as seguintes coisas:

• Como encontrar centro de massa usando integral dupla.

• Exercícios resolvidos de centro de massa através de uma integral.

Vamos começar com um problema simples e vamos piorando ao longo dos problemas.

Sempre iremos utilizar a mesma formula em todos os problemas, guarde ela no seu coração :)

$\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}x\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}} $                                     $\displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}y\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}} $

Onde $\rho(x,y)$ é a função densidade.

(Nesses problemas só vamos usar integrais duplas!

Exercício 1:

1- Encontre o centro de massa ( centro de gravidade ) de uma placa retangular de 4 metros de comprimento e 2 metros de largura sabendo que a mesma tem densidade constante $p = 1 $ .

Resolução: Esse problema poderia ser resolvido sem o uso de uma integral dupla, mas vamos utiliza-la mesmo assim para entendermos claramente.

Já que a placa tem 4 metros de comprimento vamos fazer $ 0 \leq x \leq 4$ e como a altura é 2 metros faremos $ 0 \leq y \leq 2$ e sabendo que $\rho(x,y)=1$ nem precisaremos usa-la em nossa integral.

Então temos duas integrais e serem resolvidas:

 $\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}} $       e        $\displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}} $ 

Primeiro vamos resolver $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 8dy = 16 $

Agora vamos resolver $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 4ydy = 8 $

E por fim: $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy =\displaystyle\intop_{0}^{4} 4dy = 8 $

Concluímos que o $ x = \frac{16}{8}= 2 $ e $y= \frac{8}{8} = 1$. Esse resultado já era esperado, uma vez que $x=2$ é justamente metade do comprimento e $y=1$ é metade da altura.

Exercício 2 

Em breve.