Sistemas lineares REGRA DE CRAMER exercicios resolvidos 2x2 3x3 4x4

Exercícios resolvidos através da REGRA DE CRAMER para:

• sistemas lineares 2x2
• sistemas lineares 3x3
• sistemas lineares 4x4

Vamos resolver esse sistema linear 2x2 usando a regra de cramer:

\begin{cases}
2x + 3y = \color{red}3 \\
x + 4y = \color{red}5 \end{cases}

Primeiramente vamos colocar os coeficientes que acompanham as incógnitas em uma matriz;

\[ M = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \]
$ det( M ) =  2.4 - 3.1 = 5 $

E agora vamos criar a matriz $ M_x $ e $ M_y $  e calcular os seus respectivos determinantes:

\[ M_y = \begin{bmatrix} 2 & \color{red}3 \\  1 & \color{red}5 \end{bmatrix} \]

$ det( M_y ) =  2.5 - 3.1 = 7 $

\[ M_x = \begin{bmatrix} \color{red}3 & 3 \\ \color{red}5 & 4 \end{bmatrix} \]

$ det( M_x ) =  3.4 - 5.3 = -3 $

$ \small x = \frac{det(M_x)}{det(M)} = \frac{ -3 }{5} $

$\small y = \frac{det(M_y)}{det(M)} = \frac { 7}{5} $



Agora vamos resolver um sistema linear 3x3 usando a REGRA DE CRAMER:

\begin{cases}
x+2y+z=\color{red}0 \\
2x+0+5z= \color{red}0\\
-x+2y+0=\color{red}4 \end{cases}

Então:


\[ M= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 &  0 &  5\\ -1 & 2 & 0 \end{bmatrix} \]

e $det(M) = -16 $

\[ Mx= \begin{bmatrix} \color{red}0 & 2 & 1\\ \color{red}0 &  0 & 5\\ \color{red}4 & 2 & 0 \end{bmatrix} \]

$det(Mx) = 40 $

\[ My= \begin{bmatrix} 1 & \color{red}0 & 1\\ 2 &  \color{red}0 &  5\\ -1 & \color{red}4 & 0 \end{bmatrix} \]

$det(My) = -12 $

\[ Mz= \begin{bmatrix} 1 & 2 & \color{red}0\\ 2 &  0 &  \color{red}0\\ -1 & 2 & \color{red}4 \end{bmatrix} \]

$det(Mz) = -16$

$\color{blue}x= \frac{det(Mx)}{det(M)} = \frac{40}{-16} = - \frac{5}{2}$

$\color{blue}y = \frac{det(My)}{det(M)} = \frac{-12}{-16} = \frac{3}{4}$

$\color{blue}z = \frac{det(Mz)}{det(M)} = \frac{-16}{-16} = 1$

Agora vamos resolver um sistema linear 4x4 usando a REGRA DE CRAMER:

Vale lembrar que para calcular um determinante de uma matriz 4x4 iriamos precisar resolver 4 determinantes 3x3, e como precisamos encontrar os valores de $ x,y,z,w $ precisamos resolver 5 determinantes de ordem 4, e por consequência resolver 20 determinantes 3x3. Ou seja, para sistemas maiores de 3x3 o método de Cramer se torna muito trabalhoso, só nos convém utilizar em matriz com alguma coluna com bastantes zeros, por exemplo:

\begin{cases}
0 + y + z + w=\color{red}0 \\
2x + 0 + 5z + 2w= \color{red}0\\
0 + 2y + z + 3w=\color{red}4 \\
0 + 3y  -z + w = \color{red}1 \end{cases}



Então:


$ M= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 &  5 & 2\\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3& -1 & 1 \end{bmatrix} $

A primeira coluna tem muitos zeros, então se usarmos a REGRA DE CRAMER não teremos muito
trabalho:
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4 usamos o método de Laplace

$ det(M) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 &  5 & 2\\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3& -1 & 1 \end{vmatrix} = -2.\begin{vmatrix}  1 &  1 & 1\\  2 & 1 & 3 \\  3& -1 & 1 \end{vmatrix} = -12 $



 $M_y= \begin{bmatrix} 0 & \color{red}0 & 1 & 1 \\ 2 & \color{red}0 &  5 & 2\\ 0 & \color{red}4 & 1 & 3 \\ 0 &\color{red}1& -1 & 1 \end{bmatrix} $

$ det(M_y) = \begin{vmatrix} 0 & \color{red}0 & 1 & 1 \\ 2 & \color{red}0 &  5 & 2\\ 0 & \color{red}4 & 1 & 3 \\ 0 &\color{red}1& -1 & 1 \end{vmatrix}  = -2.\begin{vmatrix}   \color{red}0 &  1 & 1\\ \color{red}4 & 1 & 3 \\ \color{red}1& -1 & 1 \end{vmatrix} = 12$


$ M_z= \begin{bmatrix} 0 & 1 & \color{red}0 & 1 \\ 2 & 0 &  \color{red}0 & 2\\ 0 & 2 & \color{red}4 & 3 \\ 0 & 3& \color{red}1 & 1 \end{bmatrix} $

$ det(M_z) = M_z= \begin{vmatrix} 0 & 1 & \color{red}0 & 1 \\ 2 & 0 &  \color{red}0 & 2\\ 0 & 2 & \color{red}4 & 3 \\ 0 & 3& \color{red}1 & 1 \end{vmatrix}=-2\begin{vmatrix} 0 &  \color{red}1 & 0\\ 1 & \color{red}4 & 3 \\ 3& \color{red}1 & 1 \end{vmatrix}= 18 $



$ M_w= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & \color{red}0 \\ 2 & 0 &  5 & \color{red}0\\ 0 & 2 & 1 & \color{red}4 \\ 0 & 3& -1 & \color{red}1 \end{bmatrix} $

$ det(M_w) = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \color{red}0 \\ 2 & 0 &  5 & \color{red}0\\ 0 & 2 & 1 & \color{red}4 \\ 0 & 3& -1 & \color{red}1 \end{vmatrix} = -2\begin{vmatrix} 1 &  1 & \color{red}0\\ 2 & 1 & \color{red}4 \\ 3& -1 & \color{red}1 \end{vmatrix} = -30 $



$y = \frac{det(M_y)}{det(M)} = \frac{12}{-12} = -1$
$z = \frac{det(M_z)}{det(M)} = \frac{18}{ -12} =-\frac{3}{2}$

$w = \frac{det(M_w)}{det(M)} = \frac{-30}{-12} = \frac{5}{2}$

E agora pegamos a equação que envolva a variável $x$ da matriz $M$ e achamos o valor de $x$:


$2x + 0 + 5z + 2w= \color{red}0 $
$2x  - 5\frac{3}{2} + 2\frac{5}{2}= \color{red}0 $
$2x  -\frac{15}{2}+ \frac{10}{2} = 0 $
$ 2x = \frac{5}{2} $
$ x = \frac{5}{4} $