Como calcular a distância da terra a lua?

Como calcular a distância da Terra a lua?

Essa é uma pergunta muito interessante e você irá se surpreender ao saber que é possível determinar algo como a distância da Terra até a lua sem nenhum equipamento eletrônico ou máquina astronômica. Para resolver esse problema vamos precisar somente de algumas informações que quase todos nós homens sabemos e algumas aplicações físicas de ensino médio sobre gravitação que foram deixadas por Isaac Newton.

Isaac Newton descobriu uma maneira de calcular a força que um corpo atraí o outro ( chamamos de força gravitacional ).

A formula encontrada por ele foi:

$$F_g = G\frac{mM}{R^2}$$   Onde $F_g$  é a força gravitacional causada pelos dois corpos.

$m$ é a massa de um corpo menor ( por exemplo a lua ).

$M$ é a massa do outro corpo maior ( a Terra por exemplo ).

$R$ é a distância entre esses dois corpos ( distância entre terra e lua).

$G$ é uma constante ( valor numerico, assim como o $\pi$ )que nunca muda.

O cálculo da distância da terra até a lua.

Então vamos ao que interessa!

Vamos imaginar que a terra e a lua são como na imagem a baixo:

Lua orbitando a Terra Fonte: Mundo educação.

A força gravitacional é justamente aquela que está representada pela letra $F$. Agora pare e pense...Se a terra está "puxando" a lua com uma força $F$, por que a lua não vem em direção a terra?

A resposta para tal pergunta é: A unica maneira da força $F$ não puxar a lua em direção a terra é por que existe uma força contrária a força gravitacional que se anula com ela.

Mas que força é essa?

Essa força se chama força centrípeta! Todo movimento circular uniforme possui força centrípeta!

Imagine você em um roda roda, se o roda roda girar muito rápido o que irá acontecer com você? Você sentira uma força lhe jogando para "trás" e se ele girar muito rápido é provável que que você acabe sendo jogado para fora dele. É exatamente isso que ocorre na lua, a força gravitacional puxa a lua para dentro enquanto a força centrípeta "empurra" ela para fora.

A força centrípeta por ser calculada da seguinte forma:

$$F_c = m\frac{v^2}{R}$$

Já que sabemos que a força centrípeta é igual a força gravitacional ( uma puxa e a outra empurra )

$F_c = F_g$ então  $\displaystyle m\frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2}$

Temos a massa $m$  ( massa da lua )  em ambas as equações

 $\displaystyle \frac{v^2}{R} = G\frac{M}{R^2}$

$\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2}\frac{1}{R} = G\frac{M}{R^2}$

Note que trocamos o valor de $v$ por $\frac{(2\pi R)^2}{T^2}$ pois velocidade é o quanto um corpo andou sobre o tempo que ele demorou para andar. $v=\frac{\Delta S}{\Delta t}$. E a lua faz uma orbita quase circular, então podemos calcular o quanto a lua percorre em uma volta completa em torno da terra, para calcular o comprimento de um circulo ( o quanto a lua percorreu em uma volta ) usamos $C = 2\pi R$ por que $R$ é o raio do circulo. E o $T$ é o tempo que a lua demorou para completar uma volta.

Manipulando essa equação:

$\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2} = G\frac{M}{R}$ 

$\displaystyle \frac{(2\pi R^2)}{T^2}R = GM$

$\displaystyle \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}R = GM$

$\displaystyle 4\pi^2\frac{ R^3}{T^2} = GM$

E por fim chegamos a essa maravilhosa expressão:

$$\displaystyle\frac{\color{blue}{R^3}}{T^2} = \frac{GM}{4 \pi^2}$$

Essa expressão nos diz que para descobrir $R$ precisamos saber $T$ ( tempo que a lua demora para dar uma volta completa em torno da terra ), $G$ ( constante gravitacional ) e $M$ ( massa da terra ).

Então no fim das contas o que essas manipulações algébricas nos levaram já que não sabemos quase nada? CALMA QUE NEM TUDO ESTÁ PERDIDO!

Se voltarmos a equação de Newton e calcularmos a força gravitacional da terra sobre uma pessoa de massa $m$ vamos notar que:  $$ G\frac{M}{R_t^2} = mg$$ 

$g$ é a gravidade do nosso planeta terra.

$R_t$ é o raio da terra.

Isolando Os valores de $GM$ temos:

  $$G\frac{M}{R_t^2} = g$$

  $$GM = gR^2_t$$

Agora vamos unir as duas equações:

$\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{\color{red}{GM}}{4 \pi^2}$   e    $\color{red}{GM} = gR^2_t$

$\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{gR^2_t}{4 \pi^2}$

$\displaystyle R^3 = \frac{gR^2_tT^2}{4 \pi^2}$

Chegamos a:

  $\displaystyle R = \sqrt[3]{\frac{gT^2R^2_t}{4 \pi^2}}$

$R$ é a distância entre a terra e a lua ( vamos descobrir agora! ).

$g \approx 9.8$ é a gravidade local.

$\pi \approx 3,1415$

$R_T \approx 6.400.000 $ raio da terra em metros (os gregos já teriam estimado o raio da terra)

$T \approx 27 dias \approx 2.332.800 segundos$ o tempo que a lua demora para dar uma volta em torno da terra ( para saber isso basta observar as fases da lua, cada faze dura aproximadamente uma semana.

$\displaystyle R \approx \sqrt[3]{\frac{9,8*(2.332.800)^2*(6.400.000)^2}{4 (3.1415)^2}}$

$\displaystyle R \approx \sqrt[3]{55.332.628.367.090.673.298.470.192,694} $

$\displaystyle R \approx 381.060.354,14 $ metros $\approx$  

A distância entre terra e lua é:   

$381.060.354$ quilômetros.

Se você achou tudo muito complicado pode guardar aquela formula em vermelho sempre que quiser e mostrar a funcionalidade dela a alguém!