VETORES LI e LD - Álgebra Linear

Em álgebra linear um dos assuntos que é muito abordado é aquele que trata da dependência  e independência linear de vetores.

Nessa publicação vamos tratar os seguintes tópicos:

• O que é um vetor LI?
• O que é um vetor LD?
• Como saber se um vetor é LI ou LD?

Quando dizemos que um vetor $  \overrightarrow{v} $  é LINEARMENTE INDEPENDENTE ( LI ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor $  \overrightarrow{v} $ carrega uma "informação" na qual só ele tem.

Se um vetor é LI então é não possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores. 

Quando dizemos que um vetor $  \overrightarrow{v} $  é LINEARMENTE DEPENDENTE ( LD ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor $  \overrightarrow{v} $  carrega uma "informação inútil", ou seja, que não acrescenta nada.

Se um vetor é LI então é possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores. 

Ainda parece muito abstrato, né? Calma!

$  \overrightarrow{v} $

Imagine o seguinte: Você já deve ter visto em geometria analítica que podemos montar uma reta com apenas 1 vetor ( desde que não seja o vetor nulo ).

A equação paramétrica para gerar um reta é : $ P = A + \overrightarrow{v}t $ 

$ A $ é um ponto em que passa a reta; 

$\overrightarrow{v}$ é nosso vetor;

$ t $ é um parâmetro;

$ P $ é um ponto qualquer da reta.

Vamos então pegar um ponto $A$ e um vetor $\overrightarrow{v}$ qualquer:

$A = (0,0)$  e  $\overrightarrow{v} = (1,1)$

A reta que passa pelo ponto $A$ com direção do vetor $\overrightarrow{v}$ é: $ P_1 = (0,0) + (1,1)t $, ou seja: $ P = (1,1)t $

Agora vamos pegar outro vetor porém o mesmo ponto $A$ e criar uma outra reta.

$\overrightarrow{v} = (2,2)$ 

A reta que passa pelo ponto $ A = (0,0)$ e tem direção (2,2) é $P_2 = (2,2)t$

A pergunta é: as retas formadas pelos vetores $(1,1)$ e $(2,2)$ são iguais ou diferentes? São iguais, ambas equações formam a mesma reta, isso porque os vetores que foram usados para forma-las são LD. Percebam que, mesmo usando vetores DIFERENTES eles acabaram gerando a mesma reta. pois na verdade um deles carrega informação repetida em relação ao outro. POIS AMBOS VETORES ESTÃO SOBREPOSTOS NA MESMA RETA.

EXEMPLO DE VETORES LD

Agora se os vetores usados fossem esses abaixo poderíamos concluir que os vetores são LI, pois se fossemos criar retas a partir desses vetores eles criariam retas distintas, ou seja OS VETORES GERARIAM SUBESPAÇOS DIFERENTES ao contrário do caso acima, que os 2 vetores teríamos subespaços iguais para ambos.

Exemplo de vetores LI

É muito comum usar uma ferramenta que nos permite verificar se um conjunto de vetores é LI ou LD

Dado um conjunto de vetores $A={ \overrightarrow{v_1} , \overrightarrow{v_2}  \cdot  \cdot  \cdot  \overrightarrow{v_n}} $

O conjunto $A$ é LI se, e somente se o sistema homogêneo admite apenas a solução trivial. ( vale para qualquer dimensão ).

$a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2}  +\cdot  \cdot  \cdot + a_n\overrightarrow{v_n} = 0 $

Onde $a_1, a_2 \cdot  \cdot  \cdot a_n = 0$

Técnicas para saber se vetores são LI ou LD AQUI