Nessa publicação vamos tratar os seguintes tópicos:
- O que é um vetor LI?
- O que é um vetor LD?
- Como saber se um vetor é LI ou LD?
Quando dizemos que um vetor $ \overrightarrow{v} $ é LINEARMENTE INDEPENDENTE ( LI ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor $ \overrightarrow{v} $ carrega uma "informação" na qual só ele tem.
Se um vetor é LI então é não possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores.
Quando dizemos que um vetor $ \overrightarrow{v} $ é LINEARMENTE DEPENDENTE ( LD ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor $ \overrightarrow{v} $ carrega uma "informação inútil", ou seja, que não acrescenta nada.
Se um vetor é LI então é possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores.
Ainda parece muito abstrato, né? Calma!
$ \overrightarrow{v} $
Imagine o seguinte: Você já deve ter visto em geometria analítica que podemos montar uma reta com apenas 1 vetor ( desde que não seja o vetor nulo ).
A equação paramétrica para gerar um reta é : $ P = A + \overrightarrow{v}t $
$ A $ é um ponto em que passa a reta;
$\overrightarrow{v}$ é nosso vetor;
$ t $ é um parâmetro;
$ P $ é um ponto qualquer da reta.
Vamos então pegar um ponto $A$ e um vetor $\overrightarrow{v}$ qualquer:
$A = (0,0)$ e $\overrightarrow{v} = (1,1)$
A reta que passa pelo ponto $A$ com direção do vetor $\overrightarrow{v}$ é: $ P_1 = (0,0) + (1,1)t $, ou seja: $ P = (1,1)t $
Agora vamos pegar outro vetor porém o mesmo ponto $A$ e criar uma outra reta.
$\overrightarrow{v} = (2,2)$
A reta que passa pelo ponto $ A = (0,0)$ e tem direção (2,2) é $P_2 = (2,2)t$
A pergunta é: as retas formadas pelos vetores $(1,1)$ e $(2,2)$ são iguais ou diferentes? São iguais, ambas equações formam a mesma reta, isso porque os vetores que foram usados para forma-las são LD. Percebam que, mesmo usando vetores DIFERENTES eles acabaram gerando a mesma reta. pois na verdade um deles carrega informação repetida em relação ao outro. POIS AMBOS VETORES ESTÃO SOBREPOSTOS NA MESMA RETA.
![]() |
EXEMPLO DE VETORES LD |
Agora se os vetores usados fossem esses abaixo poderíamos concluir que os vetores são LI, pois se fossemos criar retas a partir desses vetores eles criariam retas distintas, ou seja OS VETORES GERARIAM SUBESPAÇOS DIFERENTES ao contrário do caso acima, que os 2 vetores teríamos subespaços iguais para ambos.
![]() |
Exemplo de vetores LI |
É muito comum usar uma ferramenta que nos permite verificar se um conjunto de vetores é LI ou LD
Dado um conjunto de vetores $A={ \overrightarrow{v_1} , \overrightarrow{v_2} \cdot \cdot \cdot \overrightarrow{v_n}} $
O conjunto $A$ é LI se, e somente se o sistema homogêneo admite apenas a solução trivial. ( vale para qualquer dimensão ).
$a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2} +\cdot \cdot \cdot + a_n\overrightarrow{v_n} = 0 $
Onde $a_1, a_2 \cdot \cdot \cdot a_n = 0$
Técnicas para saber se vetores são LI ou LD AQUI
Só uma correçãozinha: no começo da publicação vc diz que um quando o vetor é LI não é possível escrever o mesmo como combinação linear de outro. Contudo, logo abaixo vc coloca que quando um vetor é LI ele pode ser combinação linear de outro... No mais, belíssimo e esclarecedor texto!
ResponderExcluir