Equilíbrio martelo e régua

Equilíbrio martelo e régua.

Se você já viu a imagem abaixo provavelmente deve estar se perguntando como o martelo não cai junto com a régua? Qual a explicação física? A imagem é realmente verdadeira?

Martelo e régua em equilíbrio

Antes de tudo precisamos saber...A imagem é real?

Sim, a situação do martelo em equilíbrio é perfeitamente possível. A imagem acima foi tirada por mim mesmo.

Como equilibrar o martelo e a régua?

Intuitivamente, por conta do maior peso do martelo imaginaríamos o martelo caindo, e por consequência levando a régua consigo.

Você pode conseguir o equilíbrio de forma muito simples. O segredo está no ponto onde a régua esta apoiada e a posição onde se encontra  a "cabeça" do martelo ( parte metálica ). Observe que tanto o apoio (a parte onde a régua esta apoiada ) quanto a "cabeça" do martelo estão na mesma linha vertical ( um abaixo do outro ). Se você fizer isso provavelmente alcançará o equilíbrio.

Mas qual explicação física?

Um conceito muito importante, se não o mais, é o centro de massa ou centro de gravidade. O centro de massa, pra quem não sabe, é um ponto de um corpo no qual toda a massa está concentrada. Se você pegar um objeto e apoia-lo sobre o seu centro de massa o objeto ficará imóvel e não tombará para nenhum dos lados.

Outra conceito é que nesse fenômeno ocorre a anulação de todas as forças do sistema ( régua e martelo ) e a anulação de todos os toques ( conhecidos também como momentos ).

Saca só a imagem:

Esquema de forças do martelo + régua

A força simbolizada pela letra $N$ é a força de apoio causada exatamente pela força $P$ (força causada pelo peso do martelo ). Observe que a força $P$ está exatamente abaixo da força de apoio. Além disso vale reforçar que o ponto onde age a força "P" é exatamente no centro de massa do sistema, até porque sabemos que o martelo é muito mais pesado perto da parte metálica, por isso a maior parte de sua massa se concentra naquela região.

Outro ponto crucial nessa analise é que os torques são nulos, e caso haja alguma conturbação no martelo irá existir um torque que irá "tentar" voltar ao ponto de equilíbrio ( ao menos que você faça uma pertubação muito grande ). 

Imagem mostra novamente o centro de massa do martelo abaixo do ponto de apoio da régua!

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Como calcular a distância da terra a lua?

Como calcular a distância da Terra a lua?

Essa é uma pergunta muito interessante e você irá se surpreender ao saber que é possível determinar algo como a distância da Terra até a lua sem nenhum equipamento eletrônico ou máquina astronômica. Para resolver esse problema vamos precisar somente de algumas informações que quase todos nós homens sabemos e algumas aplicações físicas de ensino médio sobre gravitação que foram deixadas por Isaac Newton.

Isaac Newton descobriu uma maneira de calcular a força que um corpo atraí o outro ( chamamos de força gravitacional ).

A formula encontrada por ele foi:

$$F_g = G\frac{mM}{R^2}$$   Onde $F_g$  é a força gravitacional causada pelos dois corpos.

$m$ é a massa de um corpo menor ( por exemplo a lua ).

$M$ é a massa do outro corpo maior ( a Terra por exemplo ).

$R$ é a distância entre esses dois corpos ( distância entre terra e lua).

$G$ é uma constante ( valor numerico, assim como o $\pi$ )que nunca muda.

O cálculo da distância da terra até a lua.

Então vamos ao que interessa!

Vamos imaginar que a terra e a lua são como na imagem a baixo:

Lua orbitando a Terra Fonte: Mundo educação.

A força gravitacional é justamente aquela que está representada pela letra $F$. Agora pare e pense...Se a terra está "puxando" a lua com uma força $F$, por que a lua não vem em direção a terra?

A resposta para tal pergunta é: A unica maneira da força $F$ não puxar a lua em direção a terra é por que existe uma força contrária a força gravitacional que se anula com ela.

Mas que força é essa?

Essa força se chama força centrípeta! Todo movimento circular uniforme possui força centrípeta!

Imagine você em um roda roda, se o roda roda girar muito rápido o que irá acontecer com você? Você sentira uma força lhe jogando para "trás" e se ele girar muito rápido é provável que que você acabe sendo jogado para fora dele. É exatamente isso que ocorre na lua, a força gravitacional puxa a lua para dentro enquanto a força centrípeta "empurra" ela para fora.

A força centrípeta por ser calculada da seguinte forma:

$$F_c = m\frac{v^2}{R}$$

Já que sabemos que a força centrípeta é igual a força gravitacional ( uma puxa e a outra empurra )

$F_c = F_g$ então  $\displaystyle m\frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2}$

Temos a massa $m$  ( massa da lua )  em ambas as equações

 $\displaystyle \frac{v^2}{R} = G\frac{M}{R^2}$

$\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2}\frac{1}{R} = G\frac{M}{R^2}$

Note que trocamos o valor de $v$ por $\frac{(2\pi R)^2}{T^2}$ pois velocidade é o quanto um corpo andou sobre o tempo que ele demorou para andar. $v=\frac{\Delta S}{\Delta t}$. E a lua faz uma orbita quase circular, então podemos calcular o quanto a lua percorre em uma volta completa em torno da terra, para calcular o comprimento de um circulo ( o quanto a lua percorreu em uma volta ) usamos $C = 2\pi R$ por que $R$ é o raio do circulo. E o $T$ é o tempo que a lua demorou para completar uma volta.

Manipulando essa equação:

$\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2} = G\frac{M}{R}$ 

$\displaystyle \frac{(2\pi R^2)}{T^2}R = GM$

$\displaystyle \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}R = GM$

$\displaystyle 4\pi^2\frac{ R^3}{T^2} = GM$

E por fim chegamos a essa maravilhosa expressão:

$$\displaystyle\frac{\color{blue}{R^3}}{T^2} = \frac{GM}{4 \pi^2}$$

Essa expressão nos diz que para descobrir $R$ precisamos saber $T$ ( tempo que a lua demora para dar uma volta completa em torno da terra ), $G$ ( constante gravitacional ) e $M$ ( massa da terra ).

Então no fim das contas o que essas manipulações algébricas nos levaram já que não sabemos quase nada? CALMA QUE NEM TUDO ESTÁ PERDIDO!

Se voltarmos a equação de Newton e calcularmos a força gravitacional da terra sobre uma pessoa de massa $m$ vamos notar que:  $$ G\frac{M}{R_t^2} = mg$$ 

$g$ é a gravidade do nosso planeta terra.

$R_t$ é o raio da terra.

Isolando Os valores de $GM$ temos:

  $$G\frac{M}{R_t^2} = g$$

  $$GM = gR^2_t$$

Agora vamos unir as duas equações:

$\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{\color{red}{GM}}{4 \pi^2}$   e    $\color{red}{GM} = gR^2_t$

$\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{gR^2_t}{4 \pi^2}$

$\displaystyle R^3 = \frac{gR^2_tT^2}{4 \pi^2}$

Chegamos a:

  $\displaystyle R = \sqrt[3]{\frac{gT^2R^2_t}{4 \pi^2}}$

$R$ é a distância entre a terra e a lua ( vamos descobrir agora! ).

$g \approx 9.8$ é a gravidade local.

$\pi \approx 3,1415$

$R_T \approx 6.400.000 $ raio da terra em metros (os gregos já teriam estimado o raio da terra)

$T \approx 27 dias \approx 2.332.800 segundos$ o tempo que a lua demora para dar uma volta em torno da terra ( para saber isso basta observar as fases da lua, cada faze dura aproximadamente uma semana.

$\displaystyle R \approx \sqrt[3]{\frac{9,8*(2.332.800)^2*(6.400.000)^2}{4 (3.1415)^2}}$

$\displaystyle R \approx \sqrt[3]{55.332.628.367.090.673.298.470.192,694} $

$\displaystyle R \approx 381.060.354,14 $ metros $\approx$  

A distância entre terra e lua é:   

$381.060.354$ quilômetros.

Se você achou tudo muito complicado pode guardar aquela formula em vermelho sempre que quiser e mostrar a funcionalidade dela a alguém!

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CENTRO DE MASSA INTEGRAL - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Centro de massa integral - exercícios resolvidos!

O centro de massa é um conceito muito importante dentro da mecânica e das engenharias. O centro de massa pode ser calculado usando uma integral dupla, tripla ou até mesmo uma integral simples em alguns casos, nesse post vamos ver as seguintes coisas:

• Como encontrar centro de massa usando integral dupla.

• Exercícios resolvidos de centro de massa através de uma integral.

Vamos começar com um problema simples e vamos piorando ao longo dos problemas.

Sempre iremos utilizar a mesma formula em todos os problemas, guarde ela no seu coração :)

$\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}x\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}} $                                     $\displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}y\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}} $

Onde $\rho(x,y)$ é a função densidade.

(Nesses problemas só vamos usar integrais duplas!

Exercício 1:

1- Encontre o centro de massa ( centro de gravidade ) de uma placa retangular de 4 metros de comprimento e 2 metros de largura sabendo que a mesma tem densidade constante $p = 1 $ .

Resolução: Esse problema poderia ser resolvido sem o uso de uma integral dupla, mas vamos utiliza-la mesmo assim para entendermos claramente.

Já que a placa tem 4 metros de comprimento vamos fazer $ 0 \leq x \leq 4$ e como a altura é 2 metros faremos $ 0 \leq y \leq 2$ e sabendo que $\rho(x,y)=1$ nem precisaremos usa-la em nossa integral.

Então temos duas integrais e serem resolvidas:

 $\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}} $       e        $\displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}} $ 

Primeiro vamos resolver $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 8dy = 16 $

Agora vamos resolver $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 4ydy = 8 $

E por fim: $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy =\displaystyle\intop_{0}^{4} 4dy = 8 $

Concluímos que o $ x = \frac{16}{8}= 2 $ e $y= \frac{8}{8} = 1$. Esse resultado já era esperado, uma vez que $x=2$ é justamente metade do comprimento e $y=1$ é metade da altura.

Exercício 2 

Em breve.

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Centro de Massa ( Centro de gravidade )

Centro de massa, o que é? Para que serve? Como achar? Dedução da formula!

Essas perguntas serão sanadas neste post:

• O que é o centro de massa? 

O centro de massa é um conceito muito importante na matemática e principalmente na física. Mas qual o motivo pelo qual o centro de massa, também nomeado de centro de gravidade é tão importante?

Todos os corpos que são formados de inúmeras partículas tem sua massa distribuída de uma determinada maneira. Você é um corpo formado por infinitas partículas, uma bola de futebol também, e praticamente todos os objetos conhecidos por você! Todos esses objetos são formados de milhares de "pedacinhos" de massa, que ao juntar tudo nos da a massa total. E o centro de massa é um ponto onde TODA A MASSA DO OBJETO ESTA CONCENTRADA. 

• Calculando o centro de massa de um corpo

Para calcular o centro de massa de um corpo precisamos saber a massa de cada pequena partícula e a posição do espaço na qual ela ocupa.
O centro de massa pode ser entendido também como o ponto onde a soma de todos os momentos ( TORQUE ) são iguais a zero. Tomando isso como base vamos deduzir a formula para um objeto ( placa ) unidimensional.

Lembrando que $T = F.d$.
$T$: Toque
$F$: Força
$d$: Distancia até o eixo

 Então pela definição de centro de massa deve existir um ponto $x_cm$ em que a soma de todos os torques em relação a ele é nulo.

$m_1(x_k - x_1) + m_2(x_k - x_2) +...+m_n(x_k - x_n) = 0$
$m_1x_k - m_1x_1 + m_2x_k - m_2x_2 +...+m_nx_k - m_nx_n = 0$
Reagrupando de outra maneira temos:
$m_1x_k + m_2x_k +...+ m_nx_k - m_1x_1 -m_nx_2 -...- m_nx_n = 0$
$x_k(m_1+m_2+...m_n) =  m_1x_1 +m_nx_2 +...+ m_nx_n$
Daí concluímos que esse ponto será:

$$x_k =  \frac{m_1x_1 +m_nx_2 +...+ m_nx_n}{m_1+m_2+...m_n}$$
Que pode ser escrito também na notação de somatório:
$$\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i} $$

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