Demonstração somatório $ \sum { { k }^{ 2 } } $

Hoje vamos demonstrar a fórmula que faz a soma de uma sequencia bem interessante. O que queremos é chegar em uma formula que resolva isso:

$ \displaystyle \sum { { k }^{ 2 } } = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 ... n^2$

Para chegar ao resultado final vamos precisar nos recordar de alguns somatórios bem simples.

O somatório $ S = 1 + 2 + 3 +4 +5 +6 ... n $ é muito famoso pelos estudantes de ensino médio, é uma P.A de razão 1. 

Podemos denota-lo de $ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ k }$

Existe uma formula para calcular este somatório na qual não vamos demonstrar ( mostraremos em outro tópico ). Dá uma olhada na formula:

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ k } = 1 + 2 ... n = \color{red}{\frac{n(n+1)}{2}} $ 

E outro somatório mais simples ainda : $ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ 1 } = 1 +1 + 1+1 ... 1 = \color{red}n $

AGORA VAMOS AO QUE INTERESSA:

Vamos a principio pegar o seguinte somatório ( vocês vão entender o porque ): $ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ k^3 } = 1^3 +  2^3 ... n^3 $

Vamos pegar outro somatório : $ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ (k+1)^3 } = 2^3 +  3^3 ...n^3 + (n+1)^3 $

E agora vamos subtrair um somatório pelo outro:

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ (k+1)^{ 3 } } -\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 3 } } = 2^{ 3 }+3^{ 3 }+4^{ 3 }+5^{ 3 }...(n+1)^{ 3 } -1^{ 3 }-2^{ 3 }-3^{ 3 }-4^{ 3 }-5^{ 3 }...-n^{ 3 } $

Conseguiram sacar a jogada? Nao? Vamos rearranjar a equação:

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ (k+1)^{ 3 } } -\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 3 } } = -1+\color{red}{2^{ 3 }-2^{ 3 }}+3^{ 3 }-3^{ 3 }+4^{ 3 }-4^{ 3 }+5^{ 3 }-5^{ 3 }...+n^{ 3 }-n^{ 3 }+(n+1)^{ 3 }$

Observe que todos os elementos centrais serão eliminados, restando assim apenas:

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ (k+1)^{ 3 } } -\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 3 } } =-1+(n+1)^{ 3 }$

Podemos colocar ambos os somatórios juntos e realizar a distributiva do $ (k+1)^3$:

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ (k^{ 2 }+2k+1)(k+1) } -k^{ 3 }= -1+(n+1)^{ 3 } → $

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ (k^{ 3 }+3k^{ 2 }+3k+1 } -k^{ 3 })=-1+(n+1)^{ 3 } → $

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ (3k^{ 2 }+3k+1 } )=-1+(n+1)^{ 3 } → $

$ \displaystyle 3\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 2 } + 3\sum _{ 1 }^{ n } k } + \sum _{ 1 }^{ n }{ 1 }  = -1+(n+1)^{ 3 } → $

Passando os 2 somatórios para o outro lado da equação: 

$ \displaystyle 3\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 2 } } = -1+(n+1)^{ 3 }-\sum _{ 1 }^{ n }{ 1 } -3\sum _{ 1 }^{ n }{ k }  → $

Perceba que do lado direito da equação temos dois somatórios que foram exatamente aqueles que comentamos antes de começar nosso equacionamento:

$ \displaystyle \sum _{ 1 }^{ n }{ 1 }  = n $ e $ \displaystyle\sum _{ 1 }^{ n }{ k }  = \frac{n(n+1)}{2} $ 

LOGO:

$ \displaystyle 3\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 2 } }  = -1+(n+1)^{ 3 } -n - 3\frac { n(n+1) }{ 2 } $

Efetuando as distributivas e multiplicando ambos os lados das equações por $2$:

$ \displaystyle 6\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 2 } }  =-2+2n^{ 3 }+6n^{ 2 }+6n+2 - 2n - 3n^{ 2 }-3n → $

Efetuando somas e colocando em evidencia e dividindo ambos os lados por $6$:

$ \displaystyle\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 2 } }  =\frac { 2n^{ 3 }+3n^{ 2 }+n }{ 6 } → $

$ \displaystyle\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 2 } }  =\frac { n(2n^{ 2 }+3n+1) }{ 6 } → $

$ \displaystyle \color{red}{\sum _{ 1 }^{ n }{ k^{ 2 } }}  =\color{blue}{\frac { n(n+1)(2n+1) }{ 6 }} $

Agora temos uma forma para calcular essa soma para um numero $ n $ qualquer, exemplo: 

$ \displaystyle\sum _{ 1 }^{ 1000 }{ k^{ 2 } } = 1^{ 2 }+2^{ 2 }...1000^{ 2 } =\frac { 1000(1001)(2001) }{ 6 } =333.833.500 $

Já pensou ter que elevar mil números ao quadrado e ainda soma-los?

Espero que tenha ficado o mais claro possível e que tenham gostado :)

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