INTEGRAL DUPLA - INTRODUÇÃO

INTEGRAL DUPLA - O QUE É UMA INTEGRAL DUPLA?

Em Cálculo III um dos assuntos mais abordados é sem dúvida a integral dupla. E é sobre a teoria que envolve a integral dupla que vamos abordar.

• O que é uma integral dupla?
• Qual seu significado geométrico?
• Como calcular uma integral dupla?

O que é a integral dupla: 

A integral dupla é semelhante a integral comum, na qual vimos em calculo I, se lembra que na integral comum tínhamos sempre uma função a ser integrada, e essa função dependia somente de uma unica variável, $y = f(x)$ , ou seja, a função depende exclusivamente de $x$. 

E denotamos a integral de $f$ como: $$\int_{a}^{b} f(x)dx$$

Agora na integral dupla teremos algo semelhante, porém a nossa função a ser integrada pode ser uma função de duas variáveis. E a integral dupla da função $z = f(x,y)$  é denotada: $$\int_{c}^{d}   \int_{a}^{b} f(x,y)dxdy$$

A primeira coisa a se atentar é que, a função $z=f(x,y)$ é uma função que depende de $x,y$ diferentemente da integral comum.

Outra novidade é o $dxdy$. Na integral comum aparecia o $dx$, esse símbolo só significa que estamos integrando em relação a variável $x$. O $dxdy$ simboliza que iremos realizar uma integração em relação a $x$ e um um integração em relação a $y$.

Qual o significado geométrico da integral dupla?

Na integral comum o significado geométrico era muito simples. 

A integral $\displaystyle\int_{2}^{6} f(x)dx$  simboliza a área abaixo da função $f(x)$ :

Área abaixo da função $f(x)$

Já a integral dupla pode ser interpretada como o VOLUME abaixo da superfície gerada pela função $f(x,y)$

Ou seja, a integral: $\displaystyle\int_{c}^{d}   \int_{a}^{b} f(x,y)dxdy$

A integral dupla calcula o volume abaixo da superfície

Como calcular uma integral dupla?

A integração da integral dupla é simples, nada complexo para quem tem um bom entendimento de DERIVADAS PARCIAIS. Uma coisa na qual devemos nos atentar é a ORDEM DE INTEGRAÇÃO, lembra que na integral dupla temos aquele elemento $dxdy$, que como foi dito acima simboliza a integração em $x$ e a integração em $y$. Por isso devemos ter cuidado, pois existe uma ordem correta de integração, se você não respeitar a ordem seu resultado vai estar errado!

Calma que vamos ver qual a ordem correta.

Podemos visualizar a integral dupla como duas integrais comuns:

$$\color{blue}{\int_{c}^{d}} \color{red}{\int_{a}^{b}}f(x,y)\color{red}{dx}\color{blue}{dy}$$

Ou seja, o que precisamos fazer é calcular a integral de dentro e depois a integral de fora. Porém a integral de dentro é um integral em $dx$ por isso vamos integrar em ralação a $x$. E depois calculamos a integral em relação a $y$.

Vamos fazer um exemplo na prática. $f(x,y) = 4xy + 2y$

$$\color{blue}{\int} \color{red}{\int}(4xy+y)\color{red}{dx}\color{blue}{dy}$$

A primeira coisa que temos que fazer é integrar em relação a $x$, para realizar essa integral é so imaginar $y$ como uma constante ( igual nas derivadas parciais ).

daí ficamos com $$\color{blue}{\int} (2x^2y + 2yx)\color{blue}{dy}$$

 Agora é só integrar em relação a $y$  e fazendo $x$ como constante.

$$\color{blue}{\int} (2x^2y + 2yx)\color{blue}{dy} = x^2y^2 + yx^2$$

Observe que eu não tive o cuidado de colocar as constantes de integração. Mas se você tiver os limites de integração é só proceder como nesse exemplo :)

Espero que tenha ficado claro :D