Vetores LI e LD - Exercícios resolvidos

Nesse tópico vamos tratar de EXERCÍCIOS RESOLVIDOS de VETORES LINEARMENTE DEPENDENTES E INDEPENDENTES:

• 2 vetores do $\Re^n$
• 3 vetores no $\Re^3$
• 3 vetores no $\Re^2$
• 3 ou mais vetores no $\Re^n$
• Técnicas com determinantes e conceitos de paralelismo.

Vou abordar técnicas que eu particularmente prefiro em casa caso :) 

PRIMEIRO PROBLEMA:

1-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,4)$ ,  $\overrightarrow{v_2} = (3,16)$ e $\overrightarrow{v_3} = (1,6)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Note que esses vetores tem apenas duas coordenadas $(x,y)$, ou seja, esses vetores estão contidos no $\Re^2$. Sempre que tivermos mais que $n$ vetores no $\Re^n$, sempre esses vetores serão Linearmente dependente ( LD ).

Como temos 3 vetores do $\Re^2$ então os vetores sem LD

SEGUNDO PROBLEMA:

2-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,4)$ e $\overrightarrow{v_2} = (4,16)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Temos 2 vetores no $\Re^2$. Sempre que tivermos 2 vetores, seja no $\Re^2$,$\Re^3$...$\Re^n$ só precisamos ver se os vetores são paralelos, se forem serão LD, se não serão LI.

Para verificar se dois vetores são paralelos só é preciso fazer a razão de cada coordenada, exemplo:

Os vetores  $\overrightarrow{v_1} = (x_1,y_1)$ e $\overrightarrow{v_2} = (x_2,y_2)$ só serão paralelos se $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$. 

Então: $\frac{16}{4} = \frac{4}{1} = 4$. então os vetores são LD. 

TERCEIRO PROBLEMA:

3-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,4,1)$ ,  $\overrightarrow{v_2} = (0,3,1)$ e $\overrightarrow{v_3} = (2,4,0)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Temos 3 vetores do  $\Re^3$ , sempre que tivermos isso vamos montar uma matriz com os vetores:

Se o determinante da matriz = 0 então os vetores são LD

Se o determinante da matriz for diferente de 0 então os vetores são LI

$M =\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}1&4&1\\0&3&1\\2&4&0\end{bmatrix}$  $Det(M) = -2$, logo os vetores são LI.

QUARTO PROBLEMA:

4-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,2,1)$ ,  $\overrightarrow{v_2} = (0,3,4)$ e $\overrightarrow{v_3} = (1,5,5)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Montado a matriz dos vetores temos que $M = \begin{bmatrix}1&2&1\\0&3&4\\1&5&5\end{bmatrix}$ $Det(M) = 0$, então vetores são LD.

QUINTO PROBLEMA:

4-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,2,1)$ e  $\overrightarrow{v_2} = (2,4,4)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Assim como no problema 2 só bastar verificar se $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{4}{1}$ mas $2  \neq 4$, portanto são LI.