sexta-feira, 17 de fevereiro de 2017

Como calcular a distância da terra a lua?

Como calcular a distância da Terra a lua?


Essa é uma pergunta muito interessante e você irá se surpreender ao saber que é possível determinar algo como a distância da Terra até a lua sem nenhum equipamento eletrônico ou máquina astronômica. Para resolver esse problema vamos precisar somente de algumas informações que quase todos nós homens sabemos e algumas aplicações físicas de ensino médio sobre gravitação que foram deixadas por Isaac Newton.

Isaac Newton descobriu uma maneira de calcular a força que um corpo atraí o outro ( chamamos de força gravitacional ).
A formula encontrada por ele foi:
F_g = G\frac{mM}{R^2}
  Onde F_g  é a força gravitacional causada pelos dois corpos.
m é a massa de um corpo menor ( por exemplo a lua ).
M é a massa do outro corpo maior ( a Terra por exemplo ).
R é a distância entre esses dois corpos ( distância entre terra e lua).
G é uma constante ( valor numerico, assim como o \pi )que nunca muda.

O cálculo da distância da terra até a lua.

Então vamos ao que interessa!
Vamos imaginar que a terra e a lua são como na imagem a baixo:
Lua orbitando a Terra Fonte: Mundo educação.
A força gravitacional é justamente aquela que está representada pela letra F. Agora pare e pense...Se a terra está "puxando" a lua com uma força F, por que a lua não vem em direção a terra?
A resposta para tal pergunta é: A unica maneira da força F não puxar a lua em direção a terra é por que existe uma força contrária a força gravitacional que se anula com ela.

Mas que força é essa?
Essa força se chama força centrípeta! Todo movimento circular uniforme possui força centrípeta!
Imagine você em um roda roda, se o roda roda girar muito rápido o que irá acontecer com você? Você sentira uma força lhe jogando para "trás" e se ele girar muito rápido é provável que que você acabe sendo jogado para fora dele. É exatamente isso que ocorre na lua, a força gravitacional puxa a lua para dentro enquanto a força centrípeta "empurra" ela para fora.
A força centrípeta por ser calculada da seguinte forma:
F_c = m\frac{v^2}{R}
Já que sabemos que a força centrípeta é igual a força gravitacional ( uma puxa e a outra empurra )
F_c = F_g então  \displaystyle m\frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2}

Temos a massa m  ( massa da lua )  em ambas as equações

 \displaystyle \frac{v^2}{R} = G\frac{M}{R^2}

\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2}\frac{1}{R} = G\frac{M}{R^2}

Note que trocamos o valor de v por \frac{(2\pi R)^2}{T^2} pois velocidade é o quanto um corpo andou sobre o tempo que ele demorou para andar. v=\frac{\Delta S}{\Delta t}. E a lua faz uma orbita quase circular, então podemos calcular o quanto a lua percorre em uma volta completa em torno da terra, para calcular o comprimento de um circulo ( o quanto a lua percorreu em uma volta ) usamos C = 2\pi R por que R é o raio do circulo. E o T é o tempo que a lua demorou para completar uma volta.
Manipulando essa equação:

\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2} = G\frac{M}{R} 

\displaystyle \frac{(2\pi R^2)}{T^2}R = GM

\displaystyle \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}R = GM

\displaystyle 4\pi^2\frac{ R^3}{T^2} = GM

E por fim chegamos a essa maravilhosa expressão:
\displaystyle\frac{\color{blue}{R^3}}{T^2} = \frac{GM}{4 \pi^2}

Essa expressão nos diz que para descobrir R precisamos saber T ( tempo que a lua demora para dar uma volta completa em torno da terra ), G ( constante gravitacional ) e M ( massa da terra ).
Então no fim das contas o que essas manipulações algébricas nos levaram já que não sabemos quase nada? CALMA QUE NEM TUDO ESTÁ PERDIDO!

Se voltarmos a equação de Newton e calcularmos a força gravitacional da terra sobre uma pessoa de massa m vamos notar que:   G\frac{M}{R_t^2} = mg
 
g é a gravidade do nosso planeta terra.
R_t é o raio da terra.
Isolando Os valores de GM temos:
  G\frac{M}{R_t^2} = g
  GM = gR^2_t

Agora vamos unir as duas equações:

\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{\color{red}{GM}}{4 \pi^2}   e    \color{red}{GM} = gR^2_t

\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{gR^2_t}{4 \pi^2}

\displaystyle R^3 = \frac{gR^2_tT^2}{4 \pi^2}

Chegamos a:

  \displaystyle R = \sqrt[3]{\frac{gT^2R^2_t}{4 \pi^2}}

R é a distância entre a terra e a lua ( vamos descobrir agora! ).
g \approx 9.8 é a gravidade local.
\pi \approx 3,1415
R_T \approx 6.400.000 raio da terra em metros (os gregos já teriam estimado o raio da terra)
T \approx 27 dias \approx 2.332.800 segundos o tempo que a lua demora para dar uma volta em torno da terra ( para saber isso basta observar as fases da lua, cada faze dura aproximadamente uma semana.

\displaystyle R \approx \sqrt[3]{\frac{9,8*(2.332.800)^2*(6.400.000)^2}{4 (3.1415)^2}}

\displaystyle R \approx \sqrt[3]{55.332.628.367.090.673.298.470.192,694}


\displaystyle R \approx 381.060.354,14 metros \approx  

A distância entre terra e lua é:   

381.060.354 quilômetros.

Se você achou tudo muito complicado pode guardar aquela formula em vermelho sempre que quiser e mostrar a funcionalidade dela a alguém!

Local: Araçatuba - SP, Brasil

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2 comentários:

  1. Excelente, a clareza e a objetividade para explicar como calcular a distância entre terra e lua!

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  2. Muito complicado e dificilmente de entender esse fator

    ResponderExcluir

Guilherme Bocutti. Tecnologia do Blogger.

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