quarta-feira, 15 de fevereiro de 2017

CENTRO DE MASSA INTEGRAL - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Centro de massa integral - exercícios resolvidos!


O centro de massa é um conceito muito importante dentro da mecânica e das engenharias. O centro de massa pode ser calculado usando uma integral dupla, tripla ou até mesmo uma integral simples em alguns casos, nesse post vamos ver as seguintes coisas:

  • Como encontrar centro de massa usando integral dupla.

  • Exercícios resolvidos de centro de massa através de uma integral.


Vamos começar com um problema simples e vamos piorando ao longo dos problemas.

Sempre iremos utilizar a mesma formula em todos os problemas, guarde ela no seu coração :)

\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}x\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}}                                     \displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}y\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}}

Onde \rho(x,y) é a função densidade.

(Nesses problemas só vamos usar integrais duplas!

Exercício 1:

1- Encontre o centro de massa ( centro de gravidade ) de uma placa retangular de 4 metros de comprimento e 2 metros de largura sabendo que a mesma tem densidade constante p = 1 .

Resolução: Esse problema poderia ser resolvido sem o uso de uma integral dupla, mas vamos utiliza-la mesmo assim para entendermos claramente.
Já que a placa tem 4 metros de comprimento vamos fazer 0 \leq x \leq 4 e como a altura é 2 metros faremos 0 \leq y \leq 2 e sabendo que \rho(x,y)=1 nem precisaremos usa-la em nossa integral.
Então temos duas integrais e serem resolvidas:
 \displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}}       e        \displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}}  
Primeiro vamos resolver \displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 8dy = 16
Agora vamos resolver \displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 4ydy = 8
E por fim: \displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy =\displaystyle\intop_{0}^{4} 4dy = 8

Concluímos que o x = \frac{16}{8}= 2 e y= \frac{8}{8} = 1. Esse resultado já era esperado, uma vez que x=2 é justamente metade do comprimento e y=1 é metade da altura.

Exercício


Em breve.


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2 comentários:

Guilherme Bocutti. Tecnologia do Blogger.

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