Centro de massa integral - exercícios resolvidos!
O centro de massa é um conceito muito importante dentro da mecânica e das engenharias. O centro de massa pode ser calculado usando uma integral dupla, tripla ou até mesmo uma integral simples em alguns casos, nesse post vamos ver as seguintes coisas:
- Como encontrar centro de massa usando integral dupla.
- Exercícios resolvidos de centro de massa através de uma integral.
Vamos começar com um problema simples e vamos piorando ao longo dos problemas.
Sempre iremos utilizar a mesma formula em todos os problemas, guarde ela no seu coração :)
\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d} \intop_{a}^{b}\color{red}x\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d} \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}} \displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d} \intop_{a}^{b}\color{red}y\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d} \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}}
Onde \rho(x,y) é a função densidade.
(Nesses problemas só vamos usar integrais duplas!
Exercício 1:
1- Encontre o centro de massa ( centro de gravidade ) de uma placa retangular de 4 metros de comprimento e 2 metros de largura sabendo que a mesma tem densidade constante p = 1 .
Resolução: Esse problema poderia ser resolvido sem o uso de uma integral dupla, mas vamos utiliza-la mesmo assim para entendermos claramente.
Já que a placa tem 4 metros de comprimento vamos fazer 0 \leq x \leq 4 e como a altura é 2 metros faremos 0 \leq y \leq 2 e sabendo que \rho(x,y)=1 nem precisaremos usa-la em nossa integral.
Então temos duas integrais e serem resolvidas:
\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2} \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2} \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}} e \displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2} \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2} \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}}
Primeiro vamos resolver \displaystyle\intop_{0}^{2} \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 8dy = 16
Agora vamos resolver \displaystyle\intop_{0}^{2} \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 4ydy = 8
E por fim: \displaystyle\intop_{0}^{2} \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy =\displaystyle\intop_{0}^{4} 4dy = 8
Concluímos que o x = \frac{16}{8}= 2 e y= \frac{8}{8} = 1. Esse resultado já era esperado, uma vez que x=2 é justamente metade do comprimento e y=1 é metade da altura.
Exercício 2
Em breve.
Otimo
ResponderExcluirCadê o resto?
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