Nessa publicação vamos tratar os seguintes tópicos:
- O que é um vetor LI?
- O que é um vetor LD?
- Como saber se um vetor é LI ou LD?
Quando dizemos que um vetor \overrightarrow{v} é LINEARMENTE INDEPENDENTE ( LI ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor \overrightarrow{v} carrega uma "informação" na qual só ele tem.
Se um vetor é LI então é não possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores.
Quando dizemos que um vetor \overrightarrow{v} é LINEARMENTE DEPENDENTE ( LD ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor \overrightarrow{v} carrega uma "informação inútil", ou seja, que não acrescenta nada.
Se um vetor é LI então é possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores.
Ainda parece muito abstrato, né? Calma!
\overrightarrow{v}
Imagine o seguinte: Você já deve ter visto em geometria analítica que podemos montar uma reta com apenas 1 vetor ( desde que não seja o vetor nulo ).
A equação paramétrica para gerar um reta é : P = A + \overrightarrow{v}t
A é um ponto em que passa a reta;
\overrightarrow{v} é nosso vetor;
t é um parâmetro;
P é um ponto qualquer da reta.
Vamos então pegar um ponto A e um vetor \overrightarrow{v} qualquer:
A = (0,0) e \overrightarrow{v} = (1,1)
A reta que passa pelo ponto A com direção do vetor \overrightarrow{v} é: P_1 = (0,0) + (1,1)t , ou seja: P = (1,1)t
Agora vamos pegar outro vetor porém o mesmo ponto A e criar uma outra reta.
\overrightarrow{v} = (2,2)
A reta que passa pelo ponto A = (0,0) e tem direção (2,2) é P_2 = (2,2)t
A pergunta é: as retas formadas pelos vetores (1,1) e (2,2) são iguais ou diferentes? São iguais, ambas equações formam a mesma reta, isso porque os vetores que foram usados para forma-las são LD. Percebam que, mesmo usando vetores DIFERENTES eles acabaram gerando a mesma reta. pois na verdade um deles carrega informação repetida em relação ao outro. POIS AMBOS VETORES ESTÃO SOBREPOSTOS NA MESMA RETA.
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EXEMPLO DE VETORES LD |
Agora se os vetores usados fossem esses abaixo poderíamos concluir que os vetores são LI, pois se fossemos criar retas a partir desses vetores eles criariam retas distintas, ou seja OS VETORES GERARIAM SUBESPAÇOS DIFERENTES ao contrário do caso acima, que os 2 vetores teríamos subespaços iguais para ambos.
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Exemplo de vetores LI |
É muito comum usar uma ferramenta que nos permite verificar se um conjunto de vetores é LI ou LD
Dado um conjunto de vetores A={ \overrightarrow{v_1} , \overrightarrow{v_2} \cdot \cdot \cdot \overrightarrow{v_n}}
O conjunto A é LI se, e somente se o sistema homogêneo admite apenas a solução trivial. ( vale para qualquer dimensão ).
a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2} +\cdot \cdot \cdot + a_n\overrightarrow{v_n} = 0
Onde a_1, a_2 \cdot \cdot \cdot a_n = 0
Técnicas para saber se vetores são LI ou LD AQUI
Só uma correçãozinha: no começo da publicação vc diz que um quando o vetor é LI não é possível escrever o mesmo como combinação linear de outro. Contudo, logo abaixo vc coloca que quando um vetor é LI ele pode ser combinação linear de outro... No mais, belíssimo e esclarecedor texto!
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