Derivadas parciais - Funções de duas ou mais variáveis.

Derivadas de funções de duas (2) ou mais variáveis.

• O que é uma derivada parcial?
• Como calcular uma derivada parcial de uma função de varias variáveis?
• Breve ideia sobre aplicações.
• Como derivar! 

O que é uma derivada parcial?

A derivada parcial surge a partir do momento que as funções que manipulamos começam a ter mais de uma variável. A derivada é nada mais do que taxas de variações, então quando temos uma função de uma variável $y=f(x)$ só temos uma variável independente ( variável $x$ ) e portanto só temos uma derivada, pois $y$ só depende de $x$ para variar.

Porem uma função de duas variáveis, por exemplo, $z = f(x,y) $ é uma função que depende de duas variáveis, então existe duas derivadas, pois $z$ varia com $x$ e também varia com $y$, então temos duas taxas de variações, uma em  relação a $x$ e outra em relação a $y$.

Denotamos de $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \color{red}x} $ a derivada parcial em relação a $x$ ( se lê: Del $f$ del $x$ ).

Analogamente denotamos de $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \color{blue}y} $ a derivada parcial em relação a $y$ ( se lê: Del $f$ del $y$ ).

Uma função de $n$ variáveis $f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$, portanto terá $n$ derivadas : $ \frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3},\frac{\partial f}{\partial x_n} $

 Como calcular uma derivada parcial de uma função de varias variáveis?

Calcular as derivadas parciais de uma função é mais fácil do que que você pensa. Se você já esta crack nas regras de derivações de funções de uma variável as funções de duas ou mais variáveis não serão problemas.

Vamos tomar uma função qualquer $f(x,y) = x^2 + xy$. 

Para calcular a derivada parcial em relação a $x$ só é necessário imaginar a variável $y$ como constante e derivar da maneiras que já conhecemos em relação a $x$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial x^2}{\partial x} + \frac{\partial x\color{red}y}{\partial x} $$

Mas como estamos derivando em relação a $x$ então tomamos $y$ como constante as constantes saem para fora da derivada então temos que:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial x^2}{\partial x} + \color{red}y\frac{\partial x}{\partial x} $$

Então percebemos facilmente que: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y $

Para calcular a derivada parcial em relação a $y$ só é necessário imaginar a variável $x$ como constante e derivar da maneiras que já conhecemos em relação a $y$.

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial \color{red}{x^2}}{\partial y} + \frac{\partial \color{red}xy}{\partial y} $$

Mas como estamos derivando em relação a $y$ então tomamos $x$ como constante as constantes saem para fora da derivada então temos que:

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \color{red}{x^2}\frac{\partial 1}{\partial y} + \color{red}x\frac{\partial y}{\partial y} $$

Então percebemos facilmente que: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} =  x $

Pode-se também resolver derivadas parciais pela própria definição, resolvendo os seguintes limites:

$ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}  =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$      e      $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}  =\lim_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

Imagem ilustrativa