Demonstração da fórmula de comprimento de uma curva.

Sabemos que, para calcular o comprimento de uma curva dada por uma função ( $y = f(x)$ ), por exemplo, basta sermos capazes de resolvermos a seguinte integral:

$\small \displaystyle \int_{a}^{b}$$\sqrt{ 1 + [f'(x)]^2 } \,dx$


Mas por que essa integral é capaz de revelar o comprimento de uma curva? É isso que vamos mostrar neste post, bora lá!

Observe na figura ao lado a curva da função $y = f(x)$ ( função genérica ) e perceba que, ao criarmos vários seguimentos de retas sobre a 

curva, eles parecem aproximar o valor real do comprimento da curva.

E agora imagine que façamos esses seguimentos ficarem cada vez menores.

Perceba novamente que, ao diminuirmos os seguimentos, aproximamos cada vez mais o comprimento da curva.

Agora que conseguimos observar o que está acontecendo em nosso problema, vamos partir para parte matemática.
Se quisermos saber o comprimento da curva podemos somar infinitos pequenos comprimentos de arco, e sabemos que uma soma infinita de valores infinitesimais é uma integral, então:


$\small \displaystyle \int_{c}^{} \,ds$


então nosso desafio é encontrar uma relação de $ds$ e $dx$. Primeiro vamos parametrizar nossa função da seguinte forma:

$\vec{p}(t) = \big( x, f(x) \big)$


E agora vamos evocar o famoso Teorema do valor médio, que nos diz que:

$f'(c)(b-a) = f(b) - f(a)$ para algum $c \in (a,b)$

Sabemos que um vetor tangente a uma curva pode ser dado por $\vec{p'}$

Observando a figura ao lado percebemos que o seguimento $AC$ é próximo ao valor de um pequeno comprimento de arco $\Delta S$


$\vec{AC} = \vec{p}(x_1) - \vec{p}(x_o)$


$\vec{AB} = \vec{p'}(x_o)$


$\Delta S \cong \vec{AC}$


$\Delta S \cong \vec{p}(x_1) - \vec{p}(x_o)$

e pelo teorema do valor médio $\vec{p}(x_1) - \vec{p}(x_o) = \vec{p'}(x)(x_1 - x_o)$
Portanto:

$\Delta S \cong \vec{p'}(x)(x_1 - x_o)$

Agora fazendo $x_1$ tender a $x_o$

$\lim_{x_1 \to x_o} \Delta S =\lim_{x_1 \to x_o} \vec{p'}(x)(x_1 - x_o)$

$d\vec{s} = \vec{p'}(x)dx$


$\color{red}{ds} = |\vec{p'}(x)|\color{blue}{dx}$


Sabendo que : $|\vec{p'}(x)|$ é o modulo do vetor tangente:

$|\vec{p'}(x)| = \sqrt{ 1 + \big( f’(x) \big)^2 }$

Logo: $\color{red}{ds} = \sqrt{ 1 + \big( f’(x) \big)^2 }\color{blue}{dx}$

Agora substítuindo $\color{red}{ds}$ na nossa integral : $\small \displaystyle\int \,\color{red}{ds}$

Portanto:

$\small \displaystyle\int \sqrt{ 1 + \big( f’(x) \big)^2 } \,dx$