Centro de Massa ( Centro de gravidade )

Centro de massa, o que é? Para que serve? Como achar? Dedução da formula!

Essas perguntas serão sanadas neste post:

• O que é o centro de massa? 

O centro de massa é um conceito muito importante na matemática e principalmente na física. Mas qual o motivo pelo qual o centro de massa, também nomeado de centro de gravidade é tão importante?

Todos os corpos que são formados de inúmeras partículas tem sua massa distribuída de uma determinada maneira. Você é um corpo formado por infinitas partículas, uma bola de futebol também, e praticamente todos os objetos conhecidos por você! Todos esses objetos são formados de milhares de "pedacinhos" de massa, que ao juntar tudo nos da a massa total. E o centro de massa é um ponto onde TODA A MASSA DO OBJETO ESTA CONCENTRADA. 

• Calculando o centro de massa de um corpo

Para calcular o centro de massa de um corpo precisamos saber a massa de cada pequena partícula e a posição do espaço na qual ela ocupa.
O centro de massa pode ser entendido também como o ponto onde a soma de todos os momentos ( TORQUE ) são iguais a zero. Tomando isso como base vamos deduzir a formula para um objeto ( placa ) unidimensional.

Lembrando que $T = F.d$.
$T$: Toque
$F$: Força
$d$: Distancia até o eixo

 Então pela definição de centro de massa deve existir um ponto $x_cm$ em que a soma de todos os torques em relação a ele é nulo.

$m_1(x_k - x_1) + m_2(x_k - x_2) +...+m_n(x_k - x_n) = 0$
$m_1x_k - m_1x_1 + m_2x_k - m_2x_2 +...+m_nx_k - m_nx_n = 0$
Reagrupando de outra maneira temos:
$m_1x_k + m_2x_k +...+ m_nx_k - m_1x_1 -m_nx_2 -...- m_nx_n = 0$
$x_k(m_1+m_2+...m_n) =  m_1x_1 +m_nx_2 +...+ m_nx_n$
Daí concluímos que esse ponto será:

$$x_k =  \frac{m_1x_1 +m_nx_2 +...+ m_nx_n}{m_1+m_2+...m_n}$$
Que pode ser escrito também na notação de somatório:
$$\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i}$$