Demonstração da fórmula de comprimento de uma curva.

Sabemos que, para calcular o comprimento de uma curva dada por uma função ( $ y = f(x) $ ), por exemplo, basta sermos capazes de resolvermos a seguinte integral:

$ \small \displaystyle \int_{a}^{b}$$ \sqrt{ 1 + [f'(x)]^2 } \,dx $


Mas por que essa integral é capaz de revelar o comprimento de uma curva? É isso que vamos mostrar neste post, bora lá!

Observe na figura ao lado a curva da função $ y = f(x) $ ( função genérica ) e perceba que, ao criarmos vários seguimentos de retas sobre a 

curva, eles parecem aproximar o valor real do comprimento da curva.

E agora imagine que façamos esses seguimentos ficarem cada vez menores.

Perceba novamente que, ao diminuirmos os seguimentos, aproximamos cada vez mais o comprimento da curva.

Agora que conseguimos observar o que está acontecendo em nosso problema, vamos partir para parte matemática.
Se quisermos saber o comprimento da curva podemos somar infinitos pequenos comprimentos de arco, e sabemos que uma soma infinita de valores infinitesimais é uma integral, então:


$\small \displaystyle \int_{c}^{} \,ds $


então nosso desafio é encontrar uma relação de $ds $ e $ dx $. Primeiro vamos parametrizar nossa função da seguinte forma:

$\vec{p}(t) = \big( x, f(x) \big) $


E agora vamos evocar o famoso Teorema do valor médio, que nos diz que:

$ f'(c)(b-a) = f(b) - f(a) $ para algum $ c \in (a,b) $

Sabemos que um vetor tangente a uma curva pode ser dado por $ \vec{p'} $

Observando a figura ao lado percebemos que o seguimento $AC$ é próximo ao valor de um pequeno comprimento de arco $ \Delta S $


$ \vec{AC} = \vec{p}(x_1) - \vec{p}(x_o) $


$ \vec{AB} = \vec{p'}(x_o) $


$\Delta S \cong \vec{AC} $


$\Delta S \cong \vec{p}(x_1) - \vec{p}(x_o) $

e pelo teorema do valor médio $ \vec{p}(x_1) - \vec{p}(x_o) = \vec{p'}(x)(x_1 - x_o) $
Portanto:

$\Delta S \cong \vec{p'}(x)(x_1 - x_o) $

Agora fazendo $ x_1 $ tender a $ x_o $

$\lim_{x_1 \to x_o} \Delta S =\lim_{x_1 \to x_o} \vec{p'}(x)(x_1 - x_o) $

$ d\vec{s} = \vec{p'}(x)dx $


$ \color{red}{ds} = |\vec{p'}(x)|\color{blue}{dx} $


Sabendo que : $ |\vec{p'}(x)|$ é o modulo do vetor tangente:

$ |\vec{p'}(x)| = \sqrt{ 1 + \big( f’(x) \big)^2 } $

Logo: $ \color{red}{ds} = \sqrt{ 1 + \big( f’(x) \big)^2 }\color{blue}{dx} $

Agora substítuindo $ \color{red}{ds} $ na nossa integral : $ \small \displaystyle\int \,\color{red}{ds} $

Portanto:

$ \small \displaystyle\int \sqrt{ 1 + \big( f’(x) \big)^2 } \,dx $