Regra de Cramer : SISTEMAS LINEARES

Conjunto de equações que tem uma única solução.

A Regra de Cramer é utilizada para resolver sistemas lineares ( sistemas de equações de grau 1 )

Gabriel Cramer, matemático suíço nascido no século XVIII foi responsável pelo desenvolvimento de uma técnica para solução de sistemas lineares através de determinantes.

Então como resolver um sistema de equações através da regra de Cramer?

Dada um sistema qualquer:

\begin{cases}
\color{blue}ax+\color{red}by+\color{green}cz=m \\
\color{blue}dx+\color{red}ey+\color{green}fz=n \\
\color{blue}gx+\color{red}hy+\color{green}iz=o \end{cases}

onde $ x,y$ e $z$ são nossas incógnitas e os valores em coloridos são nossas constantes que acompanham suas respectivas incógnitas. Vamos colocar os valores das contantes em uma matriz que vamos chamar de M:

\[ M= \begin{bmatrix} \color{blue}a & \color{red}b & \color{green}c\\ \color{blue}d &  \color{red}e &  \color{green}f \\ \color{blue}g & \color{red}h & \color{green}i \end{bmatrix} \]

Agora vamos montar uma matriz, que chamaremos de $Mx$ com as constantes porém, vamos pegar os valores das respostas
( $g,h$ e $i$ ) pela primeira coluna da matriz M primeira coluna:

\[ Mx= \begin{bmatrix} m &\color{red}b  &  \color{green}c \\ n &  \color{red}e &  \color{green}f \\ o & \color{red}h & \color{green}i \end{bmatrix} \]

E analogamente faremos uma matriz $My$ substituindo a coluna das respostas pela coluna dos valores de $y$:

\[ My= \begin{bmatrix} \color{blue}a & m & \color{green}c\\ \color{blue}d &  n &  \color{green}f \\ \color{blue}g & o & \color{green}i \end{bmatrix} \]

E por fim

\[ Mz= \begin{bmatrix} \color{blue}a & \color{red}b & m\\ \color{blue}d &  \color{red}e &  n \\ \color{blue}g & \color{red}h & o \end{bmatrix} \]


Agora que montamos estas matrizes podemos calcular os valores de $x,y,z$ da seguinte forma:

$x= \frac{det(Mx)}{det(M)} = \frac{ \begin{vmatrix} m &\color{red}b  &  \color{green}c \\ n &  \color{red}e &  \color{green}f \\ o & \color{red}h & \color{green}i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \color{blue}a & \color{red}b & \color{green}c\\ \color{blue}d &  \color{red}e &  \color{green}f \\ \color{blue}g & \color{red}h & \color{green}i \end{vmatrix} }$


$y = \frac{det(My)}{det(M)} = \frac{ \begin{vmatrix} \color{blue}a & m & \color{green}c\\ \color{blue}d &  n &  \color{green}f \\ \color{blue}g & o & \color{green}i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \color{blue}a & \color{red}b & \color{green}c\\ \color{blue}d &  \color{red}e &  \color{green}f \\ \color{blue}g & \color{red}h & \color{green}i \end{vmatrix} }$


$z = \frac{det(My)}{det(M)} = \frac{ \begin{vmatrix} \color{blue}a & m & \color{green}c\\ \color{blue}d &  n &  \color{green}f \\ \color{blue}g & o & \color{green}i \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \color{blue}a & \color{red}b & \color{green}c\\ \color{blue}d &  \color{red}e &  \color{green}f \\ \color{blue}g & \color{red}h & \color{green}i \end{vmatrix} }$


Exemplo:


Vamos supor que queremos resolver o seguinte sistema:

\begin{cases}
\color{blue}1x+\color{red}1y+\color{green}1z=0 \\
\color{blue}2x+\color{red}0y+\color{green}5z= 0\\
\color{blue}{-1}x+\color{red}2y+\color{green}0z=4 \end{cases}

Então:


\[ M= \begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{red}2 & \color{green}1\\ \color{blue}2 &  \color{red}0 &  \color{green}5\\ \color{blue}{-1} & \color{red}2 & \color{green}0 \end{bmatrix} \]

e $det(M) = -16 $

\[ Mx= \begin{bmatrix} 0 & \color{red}2 & \color{green}1\\ 0 &  \color{red}0 &  \color{green}5\\ 4 & \color{red}2 & \color{green}0 \end{bmatrix} \]

$det(Mx) = 40 $

\[ My= \begin{bmatrix} \color{blue}1 & 0 & \color{green}1\\ \color{blue}2 &  0 &  \color{green}5\\ \color{blue}{-1} & 4 & \color{green}0 \end{bmatrix} \]

$det(My) = -12 $

\[ Mz= \begin{bmatrix} \color{blue}1 & \color{red}2 & 0\\ \color{blue}2 &  \color{red}0 &  0\\ \color{blue}{-1} & \color{red}2 & 4 \end{bmatrix} \]

$det(Mz) = -16$

$x= \frac{det(Mx)}{det(M)} = \frac{40}{-16} = - \frac{5}{2}$
$y =  \frac{det(My)}{det(M)} = \frac{-12}{-16} = \frac{3}{4}$
$z =  \frac{det(Mz)}{det(M)} = \frac{-16}{-16} = 1$


A regra de Cramer é uma boa ideia para resolução de sistemas lineares, porém para sistemas lineares de ordem maior que 3 o método de Cramer se torna muito problemático.









Imagem : Por Fred the Oyster, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=35349662