Equilíbrio martelo e régua

Equilíbrio martelo e régua.

Se você já viu a imagem abaixo provavelmente deve estar se perguntando como o martelo não cai junto com a régua? Qual a explicação física? A imagem é realmente verdadeira?

Martelo e régua em equilíbrio

Antes de tudo precisamos saber...A imagem é real?

Sim, a situação do martelo em equilíbrio é perfeitamente possível. A imagem acima foi tirada por mim mesmo.

Como equilibrar o martelo e a régua?

Intuitivamente, por conta do maior peso do martelo imaginaríamos o martelo caindo, e por consequência levando a régua consigo.

Você pode conseguir o equilíbrio de forma muito simples. O segredo está no ponto onde a régua esta apoiada e a posição onde se encontra  a "cabeça" do martelo ( parte metálica ). Observe que tanto o apoio (a parte onde a régua esta apoiada ) quanto a "cabeça" do martelo estão na mesma linha vertical ( um abaixo do outro ). Se você fizer isso provavelmente alcançará o equilíbrio.

Mas qual explicação física?

Um conceito muito importante, se não o mais, é o centro de massa ou centro de gravidade. O centro de massa, pra quem não sabe, é um ponto de um corpo no qual toda a massa está concentrada. Se você pegar um objeto e apoia-lo sobre o seu centro de massa o objeto ficará imóvel e não tombará para nenhum dos lados.

Outra conceito é que nesse fenômeno ocorre a anulação de todas as forças do sistema ( régua e martelo ) e a anulação de todos os toques ( conhecidos também como momentos ).

Saca só a imagem:

Esquema de forças do martelo + régua

A força simbolizada pela letra $N$ é a força de apoio causada exatamente pela força $P$ (força causada pelo peso do martelo ). Observe que a força $P$ está exatamente abaixo da força de apoio. Além disso vale reforçar que o ponto onde age a força "P" é exatamente no centro de massa do sistema, até porque sabemos que o martelo é muito mais pesado perto da parte metálica, por isso a maior parte de sua massa se concentra naquela região.

Outro ponto crucial nessa analise é que os torques são nulos, e caso haja alguma conturbação no martelo irá existir um torque que irá "tentar" voltar ao ponto de equilíbrio ( ao menos que você faça uma pertubação muito grande ). 

Imagem mostra novamente o centro de massa do martelo abaixo do ponto de apoio da régua!

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Como calcular a distância da terra a lua?

Como calcular a distância da Terra a lua?

Essa é uma pergunta muito interessante e você irá se surpreender ao saber que é possível determinar algo como a distância da Terra até a lua sem nenhum equipamento eletrônico ou máquina astronômica. Para resolver esse problema vamos precisar somente de algumas informações que quase todos nós homens sabemos e algumas aplicações físicas de ensino médio sobre gravitação que foram deixadas por Isaac Newton.

Isaac Newton descobriu uma maneira de calcular a força que um corpo atraí o outro ( chamamos de força gravitacional ).

A formula encontrada por ele foi:

$$F_g = G\frac{mM}{R^2}$$   Onde $F_g$  é a força gravitacional causada pelos dois corpos.

$m$ é a massa de um corpo menor ( por exemplo a lua ).

$M$ é a massa do outro corpo maior ( a Terra por exemplo ).

$R$ é a distância entre esses dois corpos ( distância entre terra e lua).

$G$ é uma constante ( valor numerico, assim como o $\pi$ )que nunca muda.

O cálculo da distância da terra até a lua.

Então vamos ao que interessa!

Vamos imaginar que a terra e a lua são como na imagem a baixo:

Lua orbitando a Terra Fonte: Mundo educação.

A força gravitacional é justamente aquela que está representada pela letra $F$. Agora pare e pense...Se a terra está "puxando" a lua com uma força $F$, por que a lua não vem em direção a terra?

A resposta para tal pergunta é: A unica maneira da força $F$ não puxar a lua em direção a terra é por que existe uma força contrária a força gravitacional que se anula com ela.

Mas que força é essa?

Essa força se chama força centrípeta! Todo movimento circular uniforme possui força centrípeta!

Imagine você em um roda roda, se o roda roda girar muito rápido o que irá acontecer com você? Você sentira uma força lhe jogando para "trás" e se ele girar muito rápido é provável que que você acabe sendo jogado para fora dele. É exatamente isso que ocorre na lua, a força gravitacional puxa a lua para dentro enquanto a força centrípeta "empurra" ela para fora.

A força centrípeta por ser calculada da seguinte forma:

$$F_c = m\frac{v^2}{R}$$

Já que sabemos que a força centrípeta é igual a força gravitacional ( uma puxa e a outra empurra )

$F_c = F_g$ então  $\displaystyle m\frac{v^2}{R} = G\frac{mM}{R^2}$

Temos a massa $m$  ( massa da lua )  em ambas as equações

 $\displaystyle \frac{v^2}{R} = G\frac{M}{R^2}$

$\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2}\frac{1}{R} = G\frac{M}{R^2}$

Note que trocamos o valor de $v$ por $\frac{(2\pi R)^2}{T^2}$ pois velocidade é o quanto um corpo andou sobre o tempo que ele demorou para andar. $v=\frac{\Delta S}{\Delta t}$. E a lua faz uma orbita quase circular, então podemos calcular o quanto a lua percorre em uma volta completa em torno da terra, para calcular o comprimento de um circulo ( o quanto a lua percorreu em uma volta ) usamos $C = 2\pi R$ por que $R$ é o raio do circulo. E o $T$ é o tempo que a lua demorou para completar uma volta.

Manipulando essa equação:

$\displaystyle \frac{(2\pi R)^2}{T^2} = G\frac{M}{R}$ 

$\displaystyle \frac{(2\pi R^2)}{T^2}R = GM$

$\displaystyle \frac{4\pi^2 R^2}{T^2}R = GM$

$\displaystyle 4\pi^2\frac{ R^3}{T^2} = GM$

E por fim chegamos a essa maravilhosa expressão:

$$\displaystyle\frac{\color{blue}{R^3}}{T^2} = \frac{GM}{4 \pi^2}$$

Essa expressão nos diz que para descobrir $R$ precisamos saber $T$ ( tempo que a lua demora para dar uma volta completa em torno da terra ), $G$ ( constante gravitacional ) e $M$ ( massa da terra ).

Então no fim das contas o que essas manipulações algébricas nos levaram já que não sabemos quase nada? CALMA QUE NEM TUDO ESTÁ PERDIDO!

Se voltarmos a equação de Newton e calcularmos a força gravitacional da terra sobre uma pessoa de massa $m$ vamos notar que:  $$ G\frac{M}{R_t^2} = mg$$ 

$g$ é a gravidade do nosso planeta terra.

$R_t$ é o raio da terra.

Isolando Os valores de $GM$ temos:

  $$G\frac{M}{R_t^2} = g$$

  $$GM = gR^2_t$$

Agora vamos unir as duas equações:

$\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{\color{red}{GM}}{4 \pi^2}$   e    $\color{red}{GM} = gR^2_t$

$\displaystyle\frac{R^3}{T^2} = \frac{gR^2_t}{4 \pi^2}$

$\displaystyle R^3 = \frac{gR^2_tT^2}{4 \pi^2}$

Chegamos a:

  $\displaystyle R = \sqrt[3]{\frac{gT^2R^2_t}{4 \pi^2}}$

$R$ é a distância entre a terra e a lua ( vamos descobrir agora! ).

$g \approx 9.8$ é a gravidade local.

$\pi \approx 3,1415$

$R_T \approx 6.400.000 $ raio da terra em metros (os gregos já teriam estimado o raio da terra)

$T \approx 27 dias \approx 2.332.800 segundos$ o tempo que a lua demora para dar uma volta em torno da terra ( para saber isso basta observar as fases da lua, cada faze dura aproximadamente uma semana.

$\displaystyle R \approx \sqrt[3]{\frac{9,8*(2.332.800)^2*(6.400.000)^2}{4 (3.1415)^2}}$

$\displaystyle R \approx \sqrt[3]{55.332.628.367.090.673.298.470.192,694} $

$\displaystyle R \approx 381.060.354,14 $ metros $\approx$  

A distância entre terra e lua é:   

$381.060.354$ quilômetros.

Se você achou tudo muito complicado pode guardar aquela formula em vermelho sempre que quiser e mostrar a funcionalidade dela a alguém!

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CENTRO DE MASSA INTEGRAL - EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Centro de massa integral - exercícios resolvidos!

O centro de massa é um conceito muito importante dentro da mecânica e das engenharias. O centro de massa pode ser calculado usando uma integral dupla, tripla ou até mesmo uma integral simples em alguns casos, nesse post vamos ver as seguintes coisas:

• Como encontrar centro de massa usando integral dupla.

• Exercícios resolvidos de centro de massa através de uma integral.

Vamos começar com um problema simples e vamos piorando ao longo dos problemas.

Sempre iremos utilizar a mesma formula em todos os problemas, guarde ela no seu coração :)

$\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}x\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}} $                                     $\displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\color{red}y\rho(x,y)dxdy}{\displaystyle\intop_{c}^{d}  \intop_{a}^{b}\rho(x,y)dxdy}} $

Onde $\rho(x,y)$ é a função densidade.

(Nesses problemas só vamos usar integrais duplas!

Exercício 1:

1- Encontre o centro de massa ( centro de gravidade ) de uma placa retangular de 4 metros de comprimento e 2 metros de largura sabendo que a mesma tem densidade constante $p = 1 $ .

Resolução: Esse problema poderia ser resolvido sem o uso de uma integral dupla, mas vamos utiliza-la mesmo assim para entendermos claramente.

Já que a placa tem 4 metros de comprimento vamos fazer $ 0 \leq x \leq 4$ e como a altura é 2 metros faremos $ 0 \leq y \leq 2$ e sabendo que $\rho(x,y)=1$ nem precisaremos usa-la em nossa integral.

Então temos duas integrais e serem resolvidas:

 $\displaystyle{x= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}} $       e        $\displaystyle{y= \frac{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy}{\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy}} $ 

Primeiro vamos resolver $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}xdxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 8dy = 16 $

Agora vamos resolver $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}ydxdy =\displaystyle\intop_{0}^{2} 4ydy = 8 $

E por fim: $\displaystyle\intop_{0}^{2}  \displaystyle\intop_{0}^{4}dxdy =\displaystyle\intop_{0}^{4} 4dy = 8 $

Concluímos que o $ x = \frac{16}{8}= 2 $ e $y= \frac{8}{8} = 1$. Esse resultado já era esperado, uma vez que $x=2$ é justamente metade do comprimento e $y=1$ é metade da altura.

Exercício 2 

Em breve.

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Centro de Massa ( Centro de gravidade )

Centro de massa, o que é? Para que serve? Como achar? Dedução da formula!

Essas perguntas serão sanadas neste post:

• O que é o centro de massa? 

O centro de massa é um conceito muito importante na matemática e principalmente na física. Mas qual o motivo pelo qual o centro de massa, também nomeado de centro de gravidade é tão importante?

Todos os corpos que são formados de inúmeras partículas tem sua massa distribuída de uma determinada maneira. Você é um corpo formado por infinitas partículas, uma bola de futebol também, e praticamente todos os objetos conhecidos por você! Todos esses objetos são formados de milhares de "pedacinhos" de massa, que ao juntar tudo nos da a massa total. E o centro de massa é um ponto onde TODA A MASSA DO OBJETO ESTA CONCENTRADA. 

• Calculando o centro de massa de um corpo

Para calcular o centro de massa de um corpo precisamos saber a massa de cada pequena partícula e a posição do espaço na qual ela ocupa.
O centro de massa pode ser entendido também como o ponto onde a soma de todos os momentos ( TORQUE ) são iguais a zero. Tomando isso como base vamos deduzir a formula para um objeto ( placa ) unidimensional.

Lembrando que $T = F.d$.
$T$: Toque
$F$: Força
$d$: Distancia até o eixo

 Então pela definição de centro de massa deve existir um ponto $x_cm$ em que a soma de todos os torques em relação a ele é nulo.

$m_1(x_k - x_1) + m_2(x_k - x_2) +...+m_n(x_k - x_n) = 0$
$m_1x_k - m_1x_1 + m_2x_k - m_2x_2 +...+m_nx_k - m_nx_n = 0$
Reagrupando de outra maneira temos:
$m_1x_k + m_2x_k +...+ m_nx_k - m_1x_1 -m_nx_2 -...- m_nx_n = 0$
$x_k(m_1+m_2+...m_n) =  m_1x_1 +m_nx_2 +...+ m_nx_n$
Daí concluímos que esse ponto será:

$$x_k =  \frac{m_1x_1 +m_nx_2 +...+ m_nx_n}{m_1+m_2+...m_n}$$
Que pode ser escrito também na notação de somatório:
$$\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_ix_i}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n} m_i} $$

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Regra de divisibilidade - MUITO FÁCIL!

Como saber se um numero é divisível por $2,3,4,5,6,9,11$ ?

Bom, a resposta e o o procedimento são bem simples. Vamos supor que você deseje saber se o
numero $23.467.321.563$ é divisível por 3 sem fazer a divisão.

Regra divisibilidade do 2

Um numero é divisível por dois se ele for par ( terminar com $2,4,6,8,0$)

Regra divisibilidade do 3

Essa é fácil em!
Um numero é divisível por $3$ se a soma dos dígitos deste número for divisível por $3$.

Exemplo: Vamos pegar o numero $23.467.321.563$. Para saber se é divisível por três basta somar todos os algarismos do numero >> $ 2+3+4+6+7+3+2+1+5+6+3 = 42 $ e se quiser pode repetir o processo ( se não souber que 42 é divisível por 3)  $ 4+2 = 6$ e $6$ é divisível por $3$ então $23.467.321.563$ também é. 

Regra divisibilidade do 4

Essa também é facinha.  

Um numero é divisível por $4$ se o numero terminar com um dígito $4,8,0$ e o penúltimo dígito for um numero par e o $0$.

Ex: $182740$ é divisível por $4$ pois termina com $40$
Ex; $91287999914$ não é divisível por por que termina com $14$

Regra divisibilidade do 5

Essa não precisa nem de exemplo. Todo número que terminar com $0$ ou $5$ é divisível por $5$.

Regra divisibilidade do 6

Se um número é divisível por por $2$ e $3$ então é divisível $6$.

Regra divisibilidade do 9

Igualzinho a regra para o $3$, porém a soma dos dígitos deve ser divisível por $9$.

Regra divisibilidade do 11

Se a soma dos dígitos alternados por sinal forem iguais a zero então esse numero é divisível por $11$.

Ex. $123456$ o que devemos fazer é começar pelo ultimo dígito e ir somando e trocando o sinal, um a um

$6-5+4-3+2-1 = 3 $ resultado diferente de $0$, então não é divisível por $11$.

Ex. $56874543$

$3-4+5-4+7-8+6-5 = 0$ então $56874543$ é divisível por $11$.

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Derivadas parciais - Funções de duas ou mais variáveis.

Derivadas de funções de duas (2) ou mais variáveis.

• O que é uma derivada parcial?
• Como calcular uma derivada parcial de uma função de varias variáveis?
• Breve ideia sobre aplicações.
• Como derivar! 

O que é uma derivada parcial?

A derivada parcial surge a partir do momento que as funções que manipulamos começam a ter mais de uma variável. A derivada é nada mais do que taxas de variações, então quando temos uma função de uma variável $y=f(x)$ só temos uma variável independente ( variável $x$ ) e portanto só temos uma derivada, pois $y$ só depende de $x$ para variar.

Porem uma função de duas variáveis, por exemplo, $z = f(x,y) $ é uma função que depende de duas variáveis, então existe duas derivadas, pois $z$ varia com $x$ e também varia com $y$, então temos duas taxas de variações, uma em  relação a $x$ e outra em relação a $y$.

Denotamos de $\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \color{red}x} $ a derivada parcial em relação a $x$ ( se lê: Del $f$ del $x$ ).

Analogamente denotamos de $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial \color{blue}y} $ a derivada parcial em relação a $y$ ( se lê: Del $f$ del $y$ ).

Uma função de $n$ variáveis $f(x_1,x_2,x_3,...,x_n)$, portanto terá $n$ derivadas : $ \frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\frac{\partial f}{\partial x_3},\frac{\partial f}{\partial x_n} $

 Como calcular uma derivada parcial de uma função de varias variáveis?

Calcular as derivadas parciais de uma função é mais fácil do que que você pensa. Se você já esta crack nas regras de derivações de funções de uma variável as funções de duas ou mais variáveis não serão problemas.

Vamos tomar uma função qualquer $f(x,y) = x^2 + xy$. 

Para calcular a derivada parcial em relação a $x$ só é necessário imaginar a variável $y$ como constante e derivar da maneiras que já conhecemos em relação a $x$.

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial x^2}{\partial x} + \frac{\partial x\color{red}y}{\partial x} $$

Mas como estamos derivando em relação a $x$ então tomamos $y$ como constante as constantes saem para fora da derivada então temos que:

$$ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial x^2}{\partial x} + \color{red}y\frac{\partial x}{\partial x} $$

Então percebemos facilmente que: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + y $

Para calcular a derivada parcial em relação a $y$ só é necessário imaginar a variável $x$ como constante e derivar da maneiras que já conhecemos em relação a $y$.

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial \color{red}{x^2}}{\partial y} + \frac{\partial \color{red}xy}{\partial y} $$

Mas como estamos derivando em relação a $y$ então tomamos $x$ como constante as constantes saem para fora da derivada então temos que:

$$ \frac{\partial f}{\partial y} = \color{red}{x^2}\frac{\partial 1}{\partial y} + \color{red}x\frac{\partial y}{\partial y} $$

Então percebemos facilmente que: $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} =  x $

Pode-se também resolver derivadas parciais pela própria definição, resolvendo os seguintes limites:

$ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}  =\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$      e      $ \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}  =\lim_{\Delta y\to 0} \frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$

Imagem ilustrativa

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INTEGRAL DUPLA - INTRODUÇÃO

INTEGRAL DUPLA - O QUE É UMA INTEGRAL DUPLA?

Em Cálculo III um dos assuntos mais abordados é sem dúvida a integral dupla. E é sobre a teoria que envolve a integral dupla que vamos abordar.

• O que é uma integral dupla?
• Qual seu significado geométrico?
• Como calcular uma integral dupla?

O que é a integral dupla: 

A integral dupla é semelhante a integral comum, na qual vimos em calculo I, se lembra que na integral comum tínhamos sempre uma função a ser integrada, e essa função dependia somente de uma unica variável, $ y = f(x) $ , ou seja, a função depende exclusivamente de $x$. 

E denotamos a integral de $f$ como: $$\int_{a}^{b} f(x)dx $$

Agora na integral dupla teremos algo semelhante, porém a nossa função a ser integrada pode ser uma função de duas variáveis. E a integral dupla da função $z = f(x,y)$  é denotada: $$\int_{c}^{d}   \int_{a}^{b} f(x,y)dxdy$$

A primeira coisa a se atentar é que, a função $z=f(x,y)$ é uma função que depende de $x,y$ diferentemente da integral comum.

Outra novidade é o $dxdy$. Na integral comum aparecia o $dx$, esse símbolo só significa que estamos integrando em relação a variável $x$. O $dxdy$ simboliza que iremos realizar uma integração em relação a $x$ e um um integração em relação a $y$.

Qual o significado geométrico da integral dupla?

Na integral comum o significado geométrico era muito simples. 

A integral $\displaystyle\int_{2}^{6} f(x)dx $  simboliza a área abaixo da função $f(x)$ :

Área abaixo da função $f(x)$

Já a integral dupla pode ser interpretada como o VOLUME abaixo da superfície gerada pela função $f(x,y)$

Ou seja, a integral: $\displaystyle\int_{c}^{d}   \int_{a}^{b} f(x,y)dxdy$

A integral dupla calcula o volume abaixo da superfície

Como calcular uma integral dupla?

A integração da integral dupla é simples, nada complexo para quem tem um bom entendimento de DERIVADAS PARCIAIS. Uma coisa na qual devemos nos atentar é a ORDEM DE INTEGRAÇÃO, lembra que na integral dupla temos aquele elemento $dxdy$, que como foi dito acima simboliza a integração em $x$ e a integração em $y$. Por isso devemos ter cuidado, pois existe uma ordem correta de integração, se você não respeitar a ordem seu resultado vai estar errado!

Calma que vamos ver qual a ordem correta.

Podemos visualizar a integral dupla como duas integrais comuns:

$$ \color{blue}{\int_{c}^{d}} \color{red}{\int_{a}^{b}}f(x,y)\color{red}{dx}\color{blue}{dy} $$

Ou seja, o que precisamos fazer é calcular a integral de dentro e depois a integral de fora. Porém a integral de dentro é um integral em $dx$ por isso vamos integrar em ralação a $x$. E depois calculamos a integral em relação a $y$.

Vamos fazer um exemplo na prática. $f(x,y) = 4xy + 2y $

$$ \color{blue}{\int} \color{red}{\int}(4xy+y)\color{red}{dx}\color{blue}{dy} $$

A primeira coisa que temos que fazer é integrar em relação a $x$, para realizar essa integral é so imaginar $y$ como uma constante ( igual nas derivadas parciais ).

daí ficamos com $$ \color{blue}{\int} (2x^2y + 2yx)\color{blue}{dy} $$

 Agora é só integrar em relação a $y$  e fazendo $x$ como constante.

$$ \color{blue}{\int} (2x^2y + 2yx)\color{blue}{dy} = x^2y^2 + yx^2$$

Observe que eu não tive o cuidado de colocar as constantes de integração. Mas se você tiver os limites de integração é só proceder como nesse exemplo :)

Espero que tenha ficado claro :D

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CÓDIGOS PROGRAMAS EM C++

Respostas dos códigos em C++

1-

#include<stdlib.h> #include<stdio.h> int main () { double p; printf("Insira o valor do livro:"); scanf("%lf",&p); printf("\n\nSeu troco será de: %3.2f \n", 100-p); system("pause"); }
2-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); double a,b,c; printf("Isira sua primeira nota: "); scanf("%lf",&a); printf("Isira sua segunda nota: "); scanf("%lf",&b); printf("Isira sua terceira nota: "); scanf("%lf",&c); printf("\nSua média será : %3.2f \n", (a+b+c)/3); system("pause"); }
3-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); int i; char n[40]; printf("Digite o nome do animal: "); gets(n); printf("\nDigite o a idade do animal: "); scanf("%d",&i); printf("A idade do do(a) %s é: %d \n", n , i ); system("pause"); }
4-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); float a,b,c,d; printf("Primeiro número: "); scanf("%f",&a); printf("Segundo número: "); scanf("%f",&b); printf("Terceiro número: "); scanf("%f",&c); printf("Quarto número: "); scanf("%f",&d); printf("\nA soma dos quatro numeros é: %3.2f ", a+b+c+d); system("pause"); }
5-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); float a,b; printf("Isira o valor de um dos lados do terreno ( em metros ): "); scanf("%f",&a); printf("Isira o outro ( em metros ): "); scanf("%f",&b); printf("A área do terreno será: %3.2f metros quadrados", a*b); system("pause"); }
6-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); int c; printf("Digite o numero de cavalos: "); scanf("%d",&c); printf("\nO numero de ferradura necessarias será: %d (considerando todos os cavalos com 4 patas )",4*c); system("pause"); }
7-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); int idade; char nome[80]; printf("Nome: "); gets(nome); printf("Idade: "); scanf("%d",&idade); printf("\n%s, você já viveu %d dias \n",nome, 365*idade); system("pause"); }
8-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); float ppl; float x; printf("Quantidade em dinheiro: "); scanf("%f",&x); printf("Valor do litro da gasolina: "); scanf("%f",&ppl); printf("\nSerá abastecido %3.2f litros \nO valor a ser pago será %3.2f reias \n",x/ppl, x); system("pause"); }
9-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); float p; printf("Massa do prato de comida: "); scanf("%f",&p); printf("\nO total a pagar será: %3.2f \n", p*12); system("pause"); }
10-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); int d,m; printf("Insira o dia de hoje ( EX: 1, 8, 16): "); scanf("%d",&d); printf("Insira o mês ( EX: 1, 5, 12): "); scanf("%d",&m); printf("\nJá se passaram %d dias desde o inicio do ano \n", d+((m-1)*30)); system("pause"); }

11-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); float a,b,c; printf("Primeira nota: "); scanf("%f",&a); printf("Segunda nota: "); scanf("%f",&b); printf("Terceira nota "); scanf("%f",&c); printf("\nSua média ponderada será: %3.2f \n",(a+(2*b) + (3*c))/6 ); system("pause"); }
12-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); int p,m,g; printf("Quantidade de camisetas pequenas: "); scanf("%d",&p); printf("Quantidade de camisetas médias: "); scanf("%d",&m); printf("Quantidade de camisetas grandes: "); scanf("%d",&g); printf("\nO valor arrecadado foi de: %d \n", 10*p + 12*m + 15*g); system("pause"); }
13-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); float d; printf("Quantidade de dias trabalhados: "); scanf("%f",&d); printf("\nEste funcionario trabalhou %3.0f dias, %3.2f meses, %3.2f anos \n ", d, d/30, d/365); system("pause"); }
14-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> #include<string.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); char a[60],b[60]; int n,n1,n2; printf("Primeira palavra "); gets(a); printf("Segunda palavra "); gets(b); n = strlen (a); n1= strlen (b); printf("\nA primeira palavra é: %s, e o numero de caraceres é: %d \n", a, n); printf("\nA segunda é: %s, e o numero de caracteres é: %d \n", b, n1); strcat(a ," "); strcat(a , b); n2=strlen(a); printf("\njunção: %s, o numero de caracteres é: %d \n",a,n2); system("pause"); }
15-
#include<stdlib.h> #include<stdio.h> #include<locale.h> #include<string.h> int main(){ setlocale(LC_ALL, ""); char a[60],b[60],c[60]; printf("Primeira palavra "); gets(a); printf("Segunda palavra "); gets(b); strcpy(c,a); strcat(a , " "); strcat(a , b); strcat(b , " "); strcat(b , c); printf("\n%s \n",a); printf("\n%s \n\n", b); system("pause"); }



Os outros 15 códigos deixarei um link na qual poderão baixar o arquivo zip com os programas.

CONTATO PARA INFORMAÇÕES:

Email: gbocutti@gmail.com
Facebook: Guilherme Bocutti ( chama lá )

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Vetores LI e LD - Exercícios resolvidos

Nesse tópico vamos tratar de EXERCÍCIOS RESOLVIDOS de VETORES LINEARMENTE DEPENDENTES E INDEPENDENTES:

• 2 vetores do $ \Re^n$
• 3 vetores no $ \Re^3$
• 3 vetores no $ \Re^2$
• 3 ou mais vetores no $ \Re^n$
• Técnicas com determinantes e conceitos de paralelismo.

Vou abordar técnicas que eu particularmente prefiro em casa caso :) 

PRIMEIRO PROBLEMA:

1-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,4)$ ,  $\overrightarrow{v_2} = (3,16)$ e $\overrightarrow{v_3} = (1,6)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Note que esses vetores tem apenas duas coordenadas $(x,y)$, ou seja, esses vetores estão contidos no $\Re^2$. Sempre que tivermos mais que $n$ vetores no $\Re^n$, sempre esses vetores serão Linearmente dependente ( LD ).

Como temos 3 vetores do $\Re^2$ então os vetores sem LD

SEGUNDO PROBLEMA:

2-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,4)$ e $\overrightarrow{v_2} = (4,16)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Temos 2 vetores no $\Re^2$. Sempre que tivermos 2 vetores, seja no $\Re^2$,$\Re^3$...$\Re^n$ só precisamos ver se os vetores são paralelos, se forem serão LD, se não serão LI.

Para verificar se dois vetores são paralelos só é preciso fazer a razão de cada coordenada, exemplo:

Os vetores  $\overrightarrow{v_1} = (x_1,y_1)$ e $\overrightarrow{v_2} = (x_2,y_2)$ só serão paralelos se $ \frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} $. 

Então: $\frac{16}{4} = \frac{4}{1} = 4 $. então os vetores são LD. 

TERCEIRO PROBLEMA:

3-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,4,1)$ ,  $\overrightarrow{v_2} = (0,3,1)$ e $\overrightarrow{v_3} = (2,4,0)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Temos 3 vetores do  $\Re^3$ , sempre que tivermos isso vamos montar uma matriz com os vetores:

Se o determinante da matriz = 0 então os vetores são LD

Se o determinante da matriz for diferente de 0 então os vetores são LI

$M =\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix} =  \begin{bmatrix}1&4&1\\0&3&1\\2&4&0\end{bmatrix} $  $Det(M) = -2 $, logo os vetores são LI.

QUARTO PROBLEMA:

4-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,2,1)$ ,  $\overrightarrow{v_2} = (0,3,4)$ e $\overrightarrow{v_3} = (1,5,5)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Montado a matriz dos vetores temos que $ M = \begin{bmatrix}1&2&1\\0&3&4\\1&5&5\end{bmatrix} $ $ Det(M) = 0 $, então vetores são LD.

QUINTO PROBLEMA:

4-Dados os $\overrightarrow{v_1} = (1,2,1)$ e  $\overrightarrow{v_2} = (2,4,4)$ verificar se são LI ou LD.

Resolução: Assim como no problema 2 só bastar verificar se $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{4}{1} $ mas $ 2  \neq 4 $, portanto são LI.

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VETORES LI e LD - Álgebra Linear

Em álgebra linear um dos assuntos que é muito abordado é aquele que trata da dependência  e independência linear de vetores.

Nessa publicação vamos tratar os seguintes tópicos:

• O que é um vetor LI?
• O que é um vetor LD?
• Como saber se um vetor é LI ou LD?

Quando dizemos que um vetor $  \overrightarrow{v} $  é LINEARMENTE INDEPENDENTE ( LI ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor $  \overrightarrow{v} $ carrega uma "informação" na qual só ele tem.

Se um vetor é LI então é não possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores. 

Quando dizemos que um vetor $  \overrightarrow{v} $  é LINEARMENTE DEPENDENTE ( LD ) estamos querendo dizer, que, dado um conjunto de vetores, esse vetor $  \overrightarrow{v} $  carrega uma "informação inútil", ou seja, que não acrescenta nada.

Se um vetor é LI então é possível escrever esse vetor como combinação linear de outros vetores. 

Ainda parece muito abstrato, né? Calma!

$  \overrightarrow{v} $

Imagine o seguinte: Você já deve ter visto em geometria analítica que podemos montar uma reta com apenas 1 vetor ( desde que não seja o vetor nulo ).

A equação paramétrica para gerar um reta é : $ P = A + \overrightarrow{v}t $ 

$ A $ é um ponto em que passa a reta; 

$\overrightarrow{v}$ é nosso vetor;

$ t $ é um parâmetro;

$ P $ é um ponto qualquer da reta.

Vamos então pegar um ponto $A$ e um vetor $\overrightarrow{v}$ qualquer:

$A = (0,0)$  e  $\overrightarrow{v} = (1,1)$

A reta que passa pelo ponto $A$ com direção do vetor $\overrightarrow{v}$ é: $ P_1 = (0,0) + (1,1)t $, ou seja: $ P = (1,1)t $

Agora vamos pegar outro vetor porém o mesmo ponto $A$ e criar uma outra reta.

$\overrightarrow{v} = (2,2)$ 

A reta que passa pelo ponto $ A = (0,0)$ e tem direção (2,2) é $P_2 = (2,2)t$

A pergunta é: as retas formadas pelos vetores $(1,1)$ e $(2,2)$ são iguais ou diferentes? São iguais, ambas equações formam a mesma reta, isso porque os vetores que foram usados para forma-las são LD. Percebam que, mesmo usando vetores DIFERENTES eles acabaram gerando a mesma reta. pois na verdade um deles carrega informação repetida em relação ao outro. POIS AMBOS VETORES ESTÃO SOBREPOSTOS NA MESMA RETA.

EXEMPLO DE VETORES LD

Agora se os vetores usados fossem esses abaixo poderíamos concluir que os vetores são LI, pois se fossemos criar retas a partir desses vetores eles criariam retas distintas, ou seja OS VETORES GERARIAM SUBESPAÇOS DIFERENTES ao contrário do caso acima, que os 2 vetores teríamos subespaços iguais para ambos.

Exemplo de vetores LI

É muito comum usar uma ferramenta que nos permite verificar se um conjunto de vetores é LI ou LD

Dado um conjunto de vetores $A={ \overrightarrow{v_1} , \overrightarrow{v_2}  \cdot  \cdot  \cdot  \overrightarrow{v_n}} $

O conjunto $A$ é LI se, e somente se o sistema homogêneo admite apenas a solução trivial. ( vale para qualquer dimensão ).

$a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2}  +\cdot  \cdot  \cdot + a_n\overrightarrow{v_n} = 0 $

Onde $a_1, a_2 \cdot  \cdot  \cdot a_n = 0$

Técnicas para saber se vetores são LI ou LD AQUI

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