Questão enviada por uma fã
Primeiro devemos ter em mente que temos de saber a distancia do ponto P ao Q.
Vamos separar o problema em três partes:
1º Vamos descobrir o valor do ponto P até o eixo $x$
2º Vamos descobrir o valor do ponto Q até o eixo $x$
3º Vamos somar as duas distancias, obtendo assim a distância procurada.
1º Para descobrirmos a distância de P ao eixo $x$, basta sermos capazes de resolver a $ f(5) $.
Porem nossa função $f$ não está completa, temos uma incógnita $\color{blue}a$ no problema, então temos que descobri-la. Mas como? Observe que o problema lhe deu alguns pontos sobre as funções, e isso não foi por acaso, você deve usa-los para achar o valor de $\color{blue}a$.
A função $f$ quando $x = 0 $ $y = 0$ também
Ou seja: $f(\color{red}0) = 0$
Então :
$ 0 = \log_2 ( \color{red}0 + a )$
...
$ 0 = \log_2 (a) $
...
$a = 2^0 \longleftrightarrow a = 1 $
Então $f(x) = \log_2 { x + 1 } $
E como dito no passo 1º temos que achar o valor de $f(5)$, então:
$f(\color{red}5) = \log_2 { \color{red}5 + 1 } $
...
$f(\color{red}5) = \log_2 { 6 } $
O problema nos forneceu o $\log_\color{blue}{10} 2 $ e $\log_\color{blue}{10} 3 $, ambos os logs na base 10. Vamos colocar nossa conclusão na base 10. ( considerando que você saiba fazer essa mudança ).
$ \log_\color{green}2 6 = \frac{\log_\color{blue}{10} 6}{\log_\color{blue}{10} \color{gren}2 } $
Então temos:
$
\frac{\log_\color{blue}{10} 6}{\log_\color{blue}{10} \color{gren}2 }
\rightarrow $
$
\frac{\log_\color{blue}{10} {3.2}}{\log_\color{blue}{10} \color{gren}2 }\rightarrow $
$
\frac{\log_\color{blue}{10} 3 + \log_\color{blue}{10} 2 }{log_\color{blue}{10}
\color{gren}2 }\rightarrow $
$\frac{0,48 + 0,2}{0,2} \rightarrow $
$3,4$
Então $f(5) = 3,4$
Agora vamos para o passo 2º
Da mesma forma que fizemos no passo 1º, só que agora temos que descobrir os valores de $g(5)$, no entanto precisaremos do valor de $\color{blue}b$.
Observe que foi dado um ponto de $ g(x) $, quando $x = 2$ $ y = -1 $. Ou seja $g(\color{red}2) = -1 $
Então temos que:
$ -1 = \log_\frac{1}{4} \color{red}2^\color{blue}b $
...
$-1 = \color{blue}b\log_\frac{1}{4} \color{red}2 $
Agora vamos colocar esse log na base 10:
$ -1 = \color{blue}b\log_\frac{1}{4} \color{red}2 \rightarrow $
$ -1 = \color{blue}b\frac{ \log_{10} \color{red}2}{ \log_{10}
\frac{1}{4}} \longrightarrow $
$ -1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ (\log_{10} 1 - \log_{10} 4)} \rightarrow $
$ -1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ ( 0 - \log_{10} 2^2)} \rightarrow $
$ -1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ - 2\log_{10} 2} \rightarrow $
$ -1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ -
2*0,3 } \rightarrow $
$ -1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ -
0,6 } \rightarrow $
$ -1 = -\color{blue}b\frac{ 1 }{2 }
\rightarrow $
$ 2 = \color{blue}b$
Agora que sabemos o valor de $ \color{blue}b $ sabemos que $g(x) = 2\log_{\frac{1}{4}} x $
E queremos calcular $g(5)$, logo:
$g(\color{red}5) = 2\log_{\frac{1}{4}} \color{red}5 $
...
$2\log_{\frac{1}{4}} \color{red}5 $
Mudando para base 10...
$2\frac{\log_{10} \color{red}5}{\log_{10}
\frac{1}{4}} \rightarrow $
$2\frac{\log_{10}
\frac{\color{red}10}{\color{red}2}}{\log_{10} 1 - \log_{10} 4} \rightarrow $
$2\frac{\log_{10} \color{red}{10} -
\log_{10} \color{red}2}{\log_{10} 1 - \log_{10} 2^2} \rightarrow $
$2\frac{1 - \color{red}{0,3}}{0 -
2\log_{10} 2} \rightarrow $
$2\frac{0,7}{ -0,6 } \rightarrow $
$2\frac{0,7}{ -0,6 } \rightarrow $
$-2,333....$
Logo $g(5) = -2,33$
Observe que foi encontrado um valor negativo, que era o esperado, uma vez que $g(5)$ está abaixo do eixo $x$. Mas como estamos interessados em distancia, e distância não pode ser negativa vamos tomar o MODULO.
Agora chegamos ao 3º passo. Somar $|f(5)| + |g(5)| \longleftrightarrow 2,6 + 2,33.. = 4,933...$
R: B
R: B
