Demonstração da FORMULA DE BASKARA

Hoje vou mostrar uma maneira intuitiva de demonstrar a tão conhecida formula quadrática, mais conhecida como FORMULA DE BASKARA.

Para essa demonstração será necessário se recordar "daquele tal" quadrado perfeito, se lembra? Se não, não se preocupe, vou dar uma relembrada. Caso você já saiba ou não queria se recordar, pode rolar o artigo até a parte em que começamos, de fato, a demonstrar a formula de Baskara.



Se tivermos, por exemplo, uma expressão como essa:

$x^2 + 2x + 1$

podemos reescrevê-la da seguinte maneira:

$(x+1)^2$

se fizermos a distributiva vamos obter novamente a primeira expressão.

Para chegarmos a esta expressão um pouco mais reduzida, podemos utilizar a seguinte técnica:

Queremos descobrir um valor $k$, $a$ e um $d$ para que possamos escrever:

$(mx+k)^2  + d = x^2 + 2x + 1$

Fazendo a distributiva no lado esquerdo da equação:

$m^2x^2 + 2mkx + k^2  + d= x^2 + 2x + 1$

daí temos que ( Observe que essas os termos independentes de uma equação devem ser iguais aos termos independentes da outra equação, os termos que acompanham o $x$  e $x^2$ ambos lados também devem ser iguais. ) 

$m^2 = 1$ ,      $2mkx = 2x$        e       $ k^2 + d = 1$ 

vemos que $m=1$,  $k=1$ e $d=0$ satisfaz ambas as equações, logo: $(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

Outro exemplo, só pra reforçar :)

$4x^2 + 8x +2$

se usarmos a técnica anterior:

$(mx+k)^2 + d = 4x^2 + 8x +2$

...

$m^2x^2 + 2mkx + k^2 +d = 4x^2 + 8x +2$

daí temos que:

$a^2 = 4$,   $2akx = 8x$   e     $k^2 + d = 2$ 

$a = 2$,  $k=2$ e $d = -2$

PORTANTO:

$(2x+2)^2 -2 = 4x^2 + 8x +2$

AGORA SEM MAIS DELONGAS VAMOS DEMONSTRAR A FORMULA DE BASKARA:

A ideia é tomar uma equação genérica e utilizar a técnica acima achando os valores e $m$, $k$, $d$:

$(mx+k)^2+d=ax^2+bx+c$

$m^2x^2+2mkx+k^2+d=ax^2+bx+c $

$m^2=a$,  $2mk=b$, $k^2 + d = c $

achando os valores de  $m$, $k$, $d$:

$m=\sqrt a$

$k={b \over  m}$, porém já sabemos o valor de $m$:  $k={b \over 2\sqrt a}$

$d=c-k^2$, e também já sabemos o valor de $k$:  $d= c-{b^2 \over 4a}$ 

Pronto, descobrimos os valores, temos então:

$( \sqrt{a}x+\frac{b}{\sqrt{2a}} )^2+c-\frac{b^2}{4a}=ax^2+bx+c$

Agora vamos encontrar $x$:

$( \sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}} )^2+c-\frac{b^2}{4a}=0$

...

$( \sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}} )^2=-c+\frac{b^2}{4a}$

Extraindo a raiz em ambos os lado:

$\sqrt{a}x+\frac{b}{2\sqrt{a}} = \pm\sqrt{-c+\frac{b^2}{4a}}$

subtraindo $\frac{b}{2\sqrt{a}}$ em ambos os lados e tirando o mmc dos valores dentro da raiz:

$\sqrt{a}x +\frac{b}{2\sqrt{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{4a}-c}$

...

$\sqrt{a}x  = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a}}-\frac{b}{2\sqrt{a}}$

dividindo ambos os lados por $\sqrt{a}$

$x  = \pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}-\frac{b}{2a}$

retirando o $4a^2$ da raiz

$x  = \frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$

...

$x  = \frac{\pm\sqrt{b^2-4ac}-b}{2a}$

...


$x  = \frac{-b\pm\sqrt{\color{red}{b^2-4ac}}}{2a}$

Pronto, chegamos na famosa formula de Baskara. Costumamos vermos desta forma também:

$x  = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

$\Delta = \color{red}{b^2-4ac}$



Espero que tenham gostado :)