DEMONSTRAÇÃO da derivada de sen(x)

Sabemos que a derivada de uma função pode ser encontrada através do seguinte limite:
OBS: Se não sabe o que é limite clique aqui.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

Onde $f(x) = \sin x$

Temos então:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x}$

Lembrando que $\sin(a+b)= \sin a\cos b + \sin b\cos a$

Logo:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x\cos \Delta x +\sin \Delta x\cos x - \sin x}{\Delta x}$

...

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x\cos \Delta x-\sin x}{\Delta x}+\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin \Delta x\cos x}{\Delta x}$
...

Pelo limite fundamental trigonométrico (se não o conhece clique aqui) $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{sin \Delta x}{\Delta x} = 1$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x\cos \Delta x - \sin x}{\Delta x}$+ $cos x$

Colocando $\sin x$ em evidência:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin x(\cos \Delta x - 1)}{\Delta x} + \cos x$
...

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\sin x(1-\cos \Delta x )}{\Delta x} + \cos x$

multiplicando o numerador e denominador por $(1+\cos \Delta x)$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\sin x(1- \cos \Delta x)(1+ \cos \Delta x)}{\Delta x(1+\cos \Delta x} + \cos x$

efetuando a distributiva:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\sin x(1- \cos^2 \Delta x)}{\Delta x(1+\cos \Delta x} + \cos x$

e como $1-\cos^2 x = \sin^2 x$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\sin x\sin^2 \Delta x}{\Delta x(1+\cos \Delta x} + \cos x$
...

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\sin x\sin \Delta x}{1+\cos \Delta x} + \cos x$

e como:

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{-\sin x\sin \Delta x}{1+ \cos \Delta x} = 0$

Só nos resta o $\cos x$

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\sin(x+\Delta x) - \sin x}{\Delta x} = \cos x$