EXERCÍCIO INTEGRAL

$\int \sqrt{x^2 + 2x^4} \,dx$

Isolando $x^2$:

 $\int \sqrt{x^2(1 + 2x^2)} \,dx$

Tirando o $x^2$ para fora da raiz:

$\int x\sqrt{1 + 2x^2} \,dx$

Agora usando mudança de variavel:

$ u = 1 + 2x^2  \Longleftrightarrow dx = \frac{du}{4x}$

Substituindo a nova variável:

$\int \frac{x\sqrt{u}}{4x} \,dx$

…

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} \,dx$

Temos então uma integral simples:

$\frac{1}{4}\frac{u^{\frac{1}{2} +1}}{\frac{1}{2} +1} + C$

...

$ \frac{2u^{  \frac{3}{2}  }}{12}  + C$

Voltando para variável x:

$ \frac{(1+2x^2)^{  \frac{3}{2}  }}{6}  + C$