$\int e^\sqrt{x} \, dx$
$\sqrt{x} = t \Longrightarrow $ $ t dt = dx$
$\int te^t \,dt$
Agora integral por partes:
$\int fg' \,dx = fg - \int f'g \,dx$
$f = t \Longleftrightarrow f' = 1$ $g'=e^t \Longleftrightarrow g = e^t$
Substituindo os valores na formula:
$te^t - \int e^t \,dt \Rightarrow$$te^t - e^t$
Voltando para a variável x;
$\sqrt{x}e^\sqrt{x} - e^\sqrt{x}$
$\int e^\sqrt{x} \, dx$
$\sqrt{x} = t \Longrightarrow $ $ t dt = dx$
$\int te^t \,dt$
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