EXERCÍCIO INTEGRAL

$\int \sqrt{x}\ln x \,dx$

Fazendo mudança de variável: $u = \sqrt{x}$

$2udu = dx$

Substituindo:

$\int u \ln u^2 \,dx$

…

$2\int u \ln u \,dx$

Agora temos uma integral que pode ser facilmente resolvida por integral por partes.

$\int fg' \,dx = fg - \int f'g \,dx$ 

$f = \ln u$        $f' = \frac{1}{u}$        $g' = u$        $g = \frac{u^2}{2}$

Agora é só substituir na formula :)

$\frac{2u^2}{2}\ln u - 2\int \frac{1}{u}u \, du \Rightarrow$

$u^2\ln u - 2\int  \, du \Rightarrow$

$u^2\ln u - 2u $

Voltando para a variável de origem:

$x \ln \sqrt x - 2\sqrt x$