EXERCICIO LOGARITIMO

Questão enviada por uma fã

Primeiro devemos ter em mente que temos de saber a distancia do ponto P ao Q.
Vamos separar o problema em três partes:

1º Vamos descobrir o valor do ponto P até o eixo $x$
2º Vamos descobrir o valor do ponto Q até o eixo $x$
3º Vamos somar as duas distancias, obtendo assim a distância procurada.

1º  Para descobrirmos a distância de P ao eixo $x$, basta sermos capazes de resolver a $f(5)$.

Porem nossa função $f$ não está completa, temos uma incógnita $\color{blue}a$ no problema, então temos que descobri-la. Mas como? Observe que o problema lhe deu alguns pontos sobre as funções, e isso não foi por acaso, você deve usa-los para achar o valor de  $\color{blue}a$.

A função $f$ quando $x = 0$ $y = 0$ também

Ou seja: $f(\color{red}0) = 0$
Então :

$0 = \log_2 (  \color{red}0 + a )$  

...

$0 = \log_2 (a)$

...

$a = 2^0  \longleftrightarrow  a = 1$

Então $f(x) =  \log_2 { x + 1 }$

E como dito no passo 1º temos que achar o valor de $f(5)$, então:

$f(\color{red}5) =  \log_2 { \color{red}5 + 1 }$

...

$f(\color{red}5) =  \log_2 { 6 }$

O problema nos forneceu o $\log_\color{blue}{10} 2$ e $\log_\color{blue}{10} 3$, ambos os logs na base 10. Vamos colocar nossa conclusão na base 10. ( considerando que você saiba fazer essa mudança ).

$\log_\color{green}2  6  = \frac{\log_\color{blue}{10} 6}{\log_\color{blue}{10} \color{gren}2 }$

Então temos:

$\frac{\log_\color{blue}{10} 6}{\log_\color{blue}{10} \color{gren}2 } \rightarrow$

$\frac{\log_\color{blue}{10} {3.2}}{\log_\color{blue}{10} \color{gren}2 }\rightarrow$

$\frac{\log_\color{blue}{10} 3 + \log_\color{blue}{10} 2 }{log_\color{blue}{10} \color{gren}2 }\rightarrow$

$\frac{0,48 + 0,2}{0,2} \rightarrow$

$3,4$

Então $f(5) = 3,4$ 

Agora vamos para o passo 2º

Da mesma forma que fizemos no passo 1º, só que agora temos que descobrir os valores de $g(5)$, no entanto precisaremos do valor de $\color{blue}b$.

Observe que foi dado um ponto de $g(x)$, quando $x = 2$    $y = -1$. Ou seja $g(\color{red}2) = -1$

Então temos que:

$-1 = \log_\frac{1}{4} \color{red}2^\color{blue}b$

...

$-1 = \color{blue}b\log_\frac{1}{4} \color{red}2$

Agora vamos colocar esse log na base 10:

$-1 = \color{blue}b\log_\frac{1}{4} \color{red}2 \rightarrow$

$-1 = \color{blue}b\frac{ \log_{10} \color{red}2}{ \log_{10} \frac{1}{4}} \longrightarrow$

$-1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ (\log_{10} 1 - \log_{10} 4)} \rightarrow$

$-1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ ( 0 - \log_{10} 2^2)} \rightarrow$

$-1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ - 2\log_{10} 2} \rightarrow$

$-1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ - 2*0,3 } \rightarrow$

$-1 = \color{blue}b\frac{ 0,3 }{ - 0,6 } \rightarrow$

$-1 = -\color{blue}b\frac{ 1 }{2 } \rightarrow$

$2 = \color{blue}b$

Agora que sabemos o valor de  $\color{blue}b$ sabemos que $g(x) = 2\log_{\frac{1}{4}} x$

E queremos calcular $g(5)$, logo:

$g(\color{red}5) = 2\log_{\frac{1}{4}} \color{red}5$

...

$2\log_{\frac{1}{4}} \color{red}5$

Mudando para base 10...

$2\frac{\log_{10} \color{red}5}{\log_{10} \frac{1}{4}} \rightarrow$

$2\frac{\log_{10} \frac{\color{red}10}{\color{red}2}}{\log_{10} 1 - \log_{10} 4} \rightarrow$

$2\frac{\log_{10} \color{red}{10} - \log_{10} \color{red}2}{\log_{10} 1 - \log_{10} 2^2} \rightarrow$

$2\frac{1 - \color{red}{0,3}}{0 -  2\log_{10} 2} \rightarrow$

$2\frac{0,7}{ -0,6 } \rightarrow$

$2\frac{0,7}{ -0,6 } \rightarrow$

$-2,333....$

Logo $g(5) = -2,33$

Observe que foi encontrado um valor negativo, que era o esperado, uma vez que $g(5)$ está abaixo do eixo $x$. Mas como estamos interessados em distancia, e distância não pode ser negativa vamos tomar o MODULO. 

Agora chegamos ao 3º passo. Somar $|f(5)| + |g(5)| \longleftrightarrow 2,6 + 2,33.. = 4,933...$

R: B