Formula Geral para $\displaystyle\int e^{ax}\sin (bx) \,dx$

Vamos elaborar uma "formulinha" para resolvermos as integrais do tipo $\displaystyle\int e^{7x}\sin (\frac{5x}{3}) \,dx$ de uma unica vez. Bora lá.

$\displaystyle\int e^{ax}\sin (bx) \,dx$

Vamos usar integração por partes:

$\displaystyle\int fg' \,dx = fg - \int f'g \,dx$

$f = \sin bx \Longleftrightarrow f' = b\cos bx$ e $g' = e^{ax} \Longleftrightarrow g = \frac{e^ax}{a}$

Substituindo na formula:

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a}\sin bx - \int b\frac{e^{ax}}{a}\cos bx \,dx$

Agora caímos em outra integral por partes: $\frac{b}{a} \displaystyle\int e^{ax}\cos bx \,dx$

$f = \cos bx \Longleftrightarrow f' = -b\sin bx$ e $g' = e^{ax} \Longleftrightarrow g = \frac{e^{ax}}{a}$

Substituindo na formula novamente:

$\frac{b}{a} \displaystyle\int e^{ax}\cos bx \,dx = \frac{b}{a}\frac{e^{ax}}{a}\cos bx + \int \frac{b^2}{a}\frac{e^{ax}}{a}\sin bx \, dx$

$\frac{b}{a} \displaystyle\int e^{ax}\cos bx \,dx = \frac{be^{ax}}{a^2}\cos bx + \int \frac{b^2}{a^2}e^{ax}\sin bx \, dx$

Voltando a expressão acima temos que:


$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx - \frac{b^2}{a^2} \int e^{ax}\sin bx \, dx$

Somando $\frac{b^2}{a^2} \displaystyle \int e^ax \sin bx \,dx$ em ambos os lados.

$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \, dx +\frac{b^2}{a^2} \int e^{ax}\sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a}\sin bx - \frac{b}{a^2}e^{ax}\cos bx$


$\frac{a^2 \displaystyle\int e^{ax}\sin bx \, dx +b^2 \displaystyle \int e^{ax}\sin bx \, dx}{a^2} =$ $\frac{ae^{ax}\sin bx - be^{ax}\cos bx}{a^2}$

Colocando $\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \, dx$ em evidência e isolando-o:


$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \, dx(a^2 +b^2) = \ ae^{ax}\sin bx - be^{ax}\cos bx$


$\displaystyle\int e^{ax}\sin bx \, dx = \frac{\ ae^{ax}\sin bx - be^{ax}\cos bx}{a^2 +b^2}$

Agora sempre que quisermos resolver uma integral deste tipo teremos uma formula pronta para usar, que resolvera nosso problema sem esforço algum! :)